1. 原始信号f是什么？我采集的是原始信号f还是y = Af得到的y？
记原始信号为f，我们在sensor方得到的原始信号就是n*1的信号f，而在receiver方采集到的信号是y。针对y=Af做变换时，A（m*n ）是一个随机矩阵（真的很随机，不用任何正交啊什么的限定）。通过由随机矩阵变换内积得到y，我们的目标是从y中恢复f。由于A是m*n(m<n)的，所以原信号f（n*1）信号被压缩到y（m*1）。
2. 有的地方写 y =Ax, 有的地方写 y=Dx，这里A和D只是符号的区别吗？压缩感知问题中的字典是什么？
不是只有符号区别！详见开始我写的参考文献中公式(4)(5)，f可以通过矩阵分解（SVD/QR）得到正交矩阵的线性组合，即：f = ψx
这里ψ是n*n的正交矩阵，x是与ψ内积能够得到f的n*1向量，相当于系数。这里终于出现了稀疏的定义！！！假定x是稀疏的（注意是x而非f）！
为什么要把f分解呢？因为A是非常随机的随机矩阵啊！竟然随机！？这样如果A非常稀疏，那么y还能恢复的出来？
对！所以我们要将f分解为正交阵和向量的线性组合。
好，带入y=Af，得y = Aψx
因为A是随机矩阵，ψ是n*n的正交矩阵，所以A乘以ψ相当于给A做了一个旋转变换，其结果Aψ还是一个随机矩阵。这里的Aψ才是D，也就是字典！于是乎，形成了y = Dx，D = Aψ
其中x假设是稀疏的，但并非最初的采样值，D是恢复（重建）矩阵。
这就是D与A的区别。
3. 为什么在MP和OMP算法中，要用一个随机矩阵乘以一个正交傅里叶矩阵？
在“压缩感知” 之 “Hello World”这篇文章中，我们采用OMP算法求取稀疏矩阵x，用了一个随机矩阵A和傅里叶正变换矩阵ψ相乘得到字典D，但事实上这只是一个例子而已，我们还可以有很多其他选择，包括随机矩阵的选取和什么样的正交阵，都可以有变化。
上面我们假定了y=Dx中x是稀疏的，就可以应用压缩感知的理论，通过Matching pursuit或者basis pursuit进行x重建了。
重建之后呢，由于x并非原始信号f，只需将ψ与恢复出的信号x进行内积，就可以恢复出原始信号f。
4.有几种常用的测量方式？
三种：
A. 产生一个随机矩阵（Gaussian /Bernoulli Distribution），与原始信号f相乘
B. 在fourier变换域采样
C. 线积分（即拉当变换(Radon)），广泛用于断层扫描。在不同方向对信号（想成图像好了）做积分，形成的不同曲线即为不同测量。
5. 有误差或者噪声的时候Compressive Sensing还管用吗？
在实际情况中呢，我们获得的数据含有噪声。相应的，用含有噪声的模型：
所以说，y是干净样本和噪声样本的叠加。
这里噪声e可以假定具有高斯分布或者什么分布具体情况具体分析。
实际样本的目标函数有以下两种：
这两种目标函数的本质是一样的，
- 对于第一种，约束项就是误差。当误差小于一个threshold(δ)时，即AE这个噪声符合理论前提条件时，进行optimize
- 对于第二种，就直接把误差项写入目标函数（loss function）
6. 压缩感知问题怎样确定稀疏度？
稀疏度是CS中一个很头痛的问题，这里仅给出基本思路，因为我也没有具体实践过。
Method：
% 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)
% 测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构
% 编程人--香港大学电子工程系 沙威 Email: wsha@eee.hku.hk
% 编程时间：2008年11月18日
% 文档下载: http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/freecode.htm
% 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert
% Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching
% Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,
% DECEMBER 2007.
clc;clear
%% 1. 时域测试信号生成
K=7; % 稀疏度(做FFT可以看出来)
N=256; % 信号长度
M=64; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)
f1=50; % 信号频率1
f2=100; % 信号频率2
f3=200; % 信号频率3
f4=400; % 信号频率4
fs=800; % 采样频率
ts=1/fs; % 采样间隔
Ts=1:N; % 采样序列
x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号,由4个信号叠加而来
%% 2. 时域信号压缩传感
Phi=randn(M,N); % 测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵，Phi也就是文中说的D矩阵
s=Phi*x.'; % 获得线性测量 ，s相当于文中的y矩阵
%% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)
%匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。
m=2*K; % 算法迭代次数(m>=K)，设x是K-sparse的
Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N); % 傅里叶正变换矩阵
T=Phi*Psi'; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)
hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量
Aug_t=[]; % 增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n=s; % 残差值
for times=1:m; % 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)
for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量
product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)
end
[val,pos]=max(product); % 最大投影系数对应的位置，即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波
Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩阵扩充
T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零），在数据中去除这个标记的所有印迹
aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 最小二乘,使残差最小
r_n=s-Aug_t*aug_y; % 残差
pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置
end
hat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的谱域向量
hat_x=real(Psi'*hat_y.'); % 做逆傅里叶变换重构得到时域信号
%% 4. 恢复信号和原始信号对比
figure(1);
hold on;
plot(hat_x,'k.-') % 重建信号
plot(x,'r') % 原始信号
legend('Recovery','Original')
norm(hat_x.'-x)/norm(x) % 重构误差
好了，有了OMP算法，开始对应解释代码：
for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量
product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)
end
这个循环是让矩阵T的每一列与残差求内各，T一共有N列，这里得到N个内积值存在product里面。内积值最大的即为相关性最强T(:,col)为M*1列向量，r_n初如化为s，是M*1列向量，这里让T(:,col)转置后再与r_n相乘，即一个1*M的行向量与一个M*1的列向量相乘，根据矩阵运算规则结果为一个数（即1*1的矩阵）。
[val,pos]=max(product); 这句话的关键是得到pos，即得到T中的哪一列与残差r_n的内积值最大，也就是哪一列与残差r_n相关性最强。此即英文步骤中的第二步。Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; 此即英文步骤中的第三步，将刚刚得到的与残差r_n内积值最大的列存到Aug_t中，这个矩阵随着循环次数（迭代次数）的变换而变化，是M*times的矩阵。
T(:,pos)=zeros(M,1); 这一句是为了下一次迭代做准备的，这次找到了与残差最相关的列，将残差更新后，下次再找与残差仅次于这一列的T的另外一列；
aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; 这一句即英文步骤中的第四步，这句加上后面一句也是困扰了我好久两句代码，所以得说说：
首先我们针对的是s=T*hat_y，现在是已知s要求hat_y，现在假如说矩阵T为N*N方阵且满秩（即N个未知数，N个独立的方程），那么很容易知道hat_y=T^-1 * s，其中T^-1表示矩阵T的逆矩阵。但是现在T是一个M*N的扁矩阵，矩阵T没有常规意义上的逆矩阵，这里就有“广义逆”的概念（详情参见国内矩阵分析教材），hat_y的解可能是不存在的，我们这里要求的是最小二乘解aug_y，最小二乘解aug_y将使s-T*aug_y这个列向量2范数最小。
对于用矩阵形式表达的线性方程组：
它的最小二乘解为：
其中
即为矩阵G的最小二乘广义逆（广义逆的一种）。
有了这些知识背景后代码就容易理解了，在第三步中，得到矩阵T中的与残差r_n最相关的列组成的矩阵Aug_t，而第四步实际上就是在求方程组Aug_t*Aug_y=s的最小二乘解。
pos_array(times)=pos; 把与T中与残差最相关的列号记下来，恢复时使用。
到此，主要的for循环就说完了。
hat_x=real(Psi'*hat_y.');此即： 
这里用hat_x以与原如信号x区分，x为原信号，hat_x为恢复的信号。代码中对hat_y取了转置是因为hat_y应该是个列向量，而在代码中的前面hat_y=zeros(1,N); 将其命成了行向量，所以这里转置了一下，没什么大不了的。