LeetCode——337. 打家劫舍 III

在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后，小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为“根”。 除了“根”之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫，房屋将自动报警。

计算在不触动警报的情况下，小偷一晚能够盗取的最高金额。

示例 1:

输入: [3,2,3,null,3,null,1]

     3
    / 
   2   3
        
     3   1

输出: 7 
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 = 3 + 3 + 1 = 7.

示例 2:

输入: [3,4,5,1,3,null,1]

     3
    / 
   4   5
  /     
 1   3   1

输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 = 4 + 5 = 9.

https://leetcode-cn.com/problems/house-robber-iii/

递归

这种问题是很典型的递归问题，可以利用回溯法来做，因为当前的计算需要依赖之前的结果，那么对于某一个节点，如果其左子节点存在，通过递归调用函数，算出不包含左子节点返回的值，同理，如果右子节点存在，算出不包含右子节点返回的值，

那么此节点的最大值可能有两种情况，一种是该节点值加上不包含左子节点和右子节点的返回值之和，另一种是左右子节点返回值之和不包含当期节点值，取两者的较大值返回即可，但是这种方法无法通过 OJ，超时了，所以必须优化这种方法，

这种方法重复计算了很多地方，比如要完成一个节点的计算，就得一直找左右子节点计算，可以把已经算过的节点用 HashMap 保存起来，以后递归调用的时候，现在 HashMap 里找，如果存在直接返回，如果不存在，等计算出来后，保存到 HashMap 中再返回，这样方便以后再调用，参见代码如下：

c++

class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        unordered_map<TreeNode*, int> m;
        return dfs(root, m);
    }
    int dfs(TreeNode *root, unordered_map<TreeNode*, int> &m) {
        if (!root) return 0;
        if (m.count(root)) return m[root];
        int val = 0;
        if (root->left) {
            val += dfs(root->left->left, m) + dfs(root->left->right, m);
        }
        if (root->right) {
            val += dfs(root->right->left, m) + dfs(root->right->right, m);
        }
        val = max(val + root->val, dfs(root->left, m) + dfs(root->right, m));
        m[root] = val;
        return val;
    }
};

java

Map<TreeNode, Integer> memo = new HashMap<>();
public int rob(TreeNode root) {
    if (root == null) return 0;
    // 利用备忘录消除重叠子问题
    if (memo.containsKey(root)) 
        return memo.get(root);
    // 抢，然后去下下家
    int do_it = root.val
        + (root.left == null ? 
            0 : rob(root.left.left) + rob(root.left.right))
        + (root.right == null ? 
            0 : rob(root.right.left) + rob(root.right.right));
    // 不抢，然后去下家
    int not_do = rob(root.left) + rob(root.right);
    
    int res = Math.max(do_it, not_do);
    memo.put(root, res);
    return res;
}

动态规划

下面再来看一种方法，这种方法的递归函数返回一个大小为2的一维数组 res，

其中 res[0] 表示不包含当前节点值的最大值，res[1] 表示包含当前值的最大值，

那么在遍历某个节点时，首先对其左右子节点调用递归函数，分别得到包含与不包含左子节点值的最大值，和包含于不包含右子节点值的最大值，

则当前节点的 res[0] 就是左子节点两种情况的较大值加上右子节点两种情况的较大值，res[1] 就是不包含左子节点值的最大值加上不包含右子节点值的最大值，和当前节点值之和，返回即可，参见代码如下：

c++

class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        vector<int> res = dfs(root);
        return max(res[0], res[1]);
    }
    vector<int> dfs(TreeNode *root) {
        if (!root) return vector<int>(2, 0);
        
        vector<int> left = dfs(root->left);
        vector<int> right = dfs(root->right);
        
        vector<int> res(2, 0);
        
        res[0] = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
        res[1] = left[0] + right[0] + root->val;
        
        return res;
    }
};

java

class Solution {
    public int rob(TreeNode root) {
    	int[] res = dfs(root);
    	return Math.max(res[0], res[1]);
	}

	public int[] dfs(TreeNode root) {
    	if (root == null) return new int[2];
    	int[] res = new int[2];

    	int[] left = dfs(root.left);
    	int[] right = dfs(root.right);

    	res[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
    	res[1] = left[0] + right[0] + root.val;

    	return res;
	}
}

动态规划改进

这里的 helper 函数返回当前结点为根结点的最大 rob 的钱数，里面的两个参数l和r表示分别从左子结点和右子结点开始 rob，分别能获得的最大钱数。

在递归函数里面，如果当前结点不存在，直接返回0。否则对左右子结点分别调用递归函数，得到l和r。

另外还得到四个变量，ll和lr表示左子结点的左右子结点的最大 rob 钱数，rl 和 rr 表示右子结点的最大 rob 钱数。

那么最后返回的值其实是两部分的值比较，其中一部分的值是当前的结点值加上 ll, lr, rl, 和 rr 这四个值，这不难理解，因为抢了当前的房屋，则左右两个子结点就不能再抢了，但是再下一层的四个子结点都是可以抢的；

另一部分是不抢当前房屋，而是抢其左右两个子结点，即 l+r 的值，返回两个部分的值中的较大值即可，参见代码如下：

c++

class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        int l = 0, r = 0;
        return helper(root, l, r);
    }
    int helper(TreeNode* node, int& l, int& r) {
        if (!node) return 0;
        int ll = 0, lr = 0, rl = 0, rr = 0;
        l = helper(node->left, ll, lr);
        r = helper(node->right, rl, rr);
        return max(node->val + ll + lr + rl + rr, l + r);
    }
};