有向图
接着上一篇：无向图
在实际生活中，很多应用相关的图都是有方向性的，最直观的就是网络，可以从A页面通过链接跳转到B页面，那么a和b连接的方向是a->b,但不能说是b->a,此时我们就需要使用有向图来解决这一类问题，它和我们之前学习的无向图，最大的区别就在于连接是具有方向的，在代码的处理上也会有很大的不同。
有向图的定义及相关术语
定义： 有向图是一副具有方向性的图，是由一组顶点和一组有方向的边组成的，每条方向的边都连着一对有序的顶点。
出度： 由某个顶点指出的边的个数称为该顶点的出度。
入度： 指向某个顶点的边的个数称为该顶点的入度。
有向路径： 由一系列顶点组成，对于其中的每个顶点都存在一条有向边，从它指向序列中的下一个顶点。
有向环： 一条至少含有一条边，且起点和终点相同的有向路径。
一副有向图中两个顶点v和w可能存在以下四种关系：
- 没有边相连；
- 存在从v到w的边v—>w;
- 存在从w到v的边w—>v;
- 既存在w到v的边，也存在v到w的边，即双向连接；
代码实现
api设计：
| 类名 | Digraph |
|---|---|
| 构造方法 | Digraph(int V)：创建一个包含V个顶点但不包含边的有向图 |
| 构造方法 | 1.public int V():获取图中顶点的数量 2.public int E():获取图中边的数量 3.public void addEdge(int v,int w):向有向图中添加一条边 v->w 4.public Queue adj(int v)：获取由v指出的边所连接的所有顶点 5.private Digraph reverse():该图的反向图 |
| 成员变量 | 1.private final int V: 记录顶点数量 2.private int E: 记录边数量 3.private Queue[] adj: 邻接表 |
代码如下：
/**
* 有向图
* @author wen.jie
* @date 2021/8/27 15:56
*/
public class Digraph extends Graph{
public Digraph(int v) {
super(v);
}
//向图中添加一条边 v->w
@Override
public void addEdge(int v, int w) {
adj[v].enqueue(w);
E++;
}
//该图的反向图
private Digraph reverse() {
Digraph digraph = new Digraph(V);
for (int v = 0; v < V; v++) {
for (Integer w : adj[v]) {
digraph.addEdge(w, v);
}
}
return digraph;
}
}
拓扑排序
在现实生活中，我们经常会同一时间接到很多任务去完成，但是这些任务的完成是有先后次序的。以我们学习java学科为例，我们需要学习很多知识，但是这些知识在学习的过程中是需要按照先后次序来完成的。从java基础，到jsp/servlet，到ssm，到springboot等是个循序渐进且有依赖的过程。在学习jsp前要首先掌握java基础和html基础，学习ssm框架前要掌握jsp/servlet之类才行。
为了简化问题，我们使用整数为顶点编号的标准模型来表示这个案例：
此时如果某个同学要学习这些课程，就需要指定出一个学习的方案，我们只需要对图中的顶点进行排序，让它转换为一个线性序列，就可以解决问题，这时就需要用到一种叫拓扑排序的算法。
拓扑排序：
给定一副有向图，将所有的顶点排序，使得所有的有向边均从排在前面的元素指向排在后面的元素，此时就可以明确的表示出每个顶点的优先级。下列是一副拓扑排序后的示意图：
检测有向图中的环
如果学习x课程前必须先学习y课程，学习y课程前必须先学习z课程，学习z课程前必须先学习x课程，那么一定是有问题了，我们就没有办法学习了，因为这三个条件没有办法同时满足。其实这三门课程x、y、z的条件组成了一个环：
因此，如果我们要使用拓扑排序解决优先级问题，首先得保证图中没有环的存在。
检测有向环的API设计：
| 类名 | DirectedCycle |
|---|---|
| 构造方法 | DirectedCycle(Digraph G)：创建一个检测环对象，检测图G中是否有环 |
| 构造方法 | 1.private void dfs(Digraph G,int v)：基于深度优先搜索，检测图G中是否有环 2.public boolean hasCycle():判断图中是否有环 |
| 成员变量 | 1.private boolean[] marked: 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索 2.private boolean hasCycle: 记录图中是否有环 3.private boolean[] onStack: 索引代表顶点，使用栈的思想，记录当前顶点有没有已经处于正在 搜索的有向路径上 |
在API中添加了onStack[] 布尔数组，索引为图的顶点，当我们深度搜索时：
- 在如果当前顶点正在搜索，则把对应的onStack数组中的值改为true，标识进栈；
- 如果当前顶点搜索完毕，则把对应的onStack数组中的值改为false，标识出栈；
- 如果即将要搜索某个顶点，但该顶点已经在栈中，则图中有环；
基于深度优先的顶点排序
api设计：
| 类名 | DepthFirstOrder |
|---|---|
| 构造方法 | DepthFirstOrder(Digraph G)：创建一个顶点排序对象，生成顶点线性序列； |
| 构造方法 | 1.private void dfs(Digraph G,int v)：基于深度优先搜索，生成顶点线性序列 2.public Stack reversePost():获取顶点线性序列 |
| 成员变量 | 1.private boolean[] marked: 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索 2.private Stack reversePost: 使用栈，存储顶点序列 |
顶点排序实现:
在API的设计中，我们添加了一个栈reversePost用来存储顶点，当我们深度搜索图时，每搜索完毕一个顶点，把该顶点放入到reversePost中，这样就可以实现顶点排序。
代码实现：
/**
* @author wen.jie
* @date 2021/8/27 17:10
*/
public class DepthFirstOrder {
private boolean[] marked;
private Stack<Integer> reversePost;
public DepthFirstOrder(Digraph G){
//校验是否有环
if(new DirectedCycle(G).hasCycle())
throw new RuntimeException("Digraph hasCycle!");
this.marked = new boolean[G.V()];
this.reversePost = new Stack<>();
//找到图中每一个顶点，让每一个顶点作为入口，调用dfs搜索
for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
if (!marked[v])
dfs(G, v);
}
}
private void dfs(Digraph G, int v) {
marked[v] = true;
for (Integer w : G.adj(v)) {
//如果当前顶点w没有搜索,则递归调用dfs进行搜索
if (!marked[w])
dfs(G, w);
}
reversePost.push(v);
}
public Stack<Integer> reversePost() {
return reversePost;
}
}
测试：
Digraph digraph = new Digraph(6);
digraph.addEdge(0,2);
digraph.addEdge(2,4);
digraph.addEdge(4,5);
digraph.addEdge(0,3);
digraph.addEdge(3,4);
digraph.addEdge(1,3);
DepthFirstOrder order = new DepthFirstOrder(digraph);
Stack<Integer> stack = order.reversePost();
for (Integer integer : stack) {
System.out.println(integer);
}
本篇所有代码均已上传至：https://gitee.com/wj204811/algorithm