费马小定理

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内容：

若 \(gcd(a,p)=1\) 且 \(p\) 为素数，则

\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p \]

引理1

若 \(gcd(c,p)=1\) ，且 \(ac \equiv bc \pmod p\)，则 \(a\equiv b \pmod p\)

证:
\(\because ac \equiv bc \pmod p\)

\(\therefore ac-bc=kp\)

\(\therefore c(a-b)=kp\)

\(\because gcd(c,p)=1\)

\(\therefore (a-b)=kp\)

\(\therefore a-b \equiv 0 \pmod p\)

\(\therefore a \equiv b \pmod p\)

引理2

若 \(a_1\) , \(a_2\) , \(\dots\) ,\(a_{p}\) 为 \(\bmod p\) 意义下的完全剩余系，且 \(gcd(b,p)=1\) ,

则 \(b*a_1\) , \(b*a_2\) , \(\dots\) , \(b*a_{p}\) 为 \(\bmod p\) 意义下的完全剩余系。

证：

假设有一对 \((i,j)\), 使得

\[b*a_i \equiv b*a_j \pmod m \]

因为 \(gcd(b,p)=1\)，又根据引理1，得到

\(a_i \equiv a_j \pmod m\)

与题意矛盾，故假设不成立。则根据鸽巢原理，此引理成立。

费马小定理

证：

不妨构造模 \(p\) 意义下的完全剩余系 \(1\) , \(2\) , \(\dots\) ,\(p-1\)

设：\(a \in N_{+}\) 且 \(gcd(a,p)=1\)

则根据引理2得到 \(a*1\) , \(a*2\) , \(\dots\) , \(a*(p-1)\) 为 \(\bmod p\) 意义下的完全剩余系

所以

\[1*2*\dots*(p-1) \equiv a*(2*a)*(3*a)*\dots*a*(p-1) \pmod p \]

化简得

\[(p-1)! \equiv a^{p-1}*(p-1)! \pmod p \dots (1) \]

因为 \(p\) 为质数，所以有

\[gcd((p-1)!,p)=1 \]

那么（1）两边可同除 \((p-1)!\)，得到

\[\frac{(p-1)!}{(p-1)!} \equiv a^{p-1}* \frac{(p-1)!}{(p-1)!} \pmod p \]

所以有

\[a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \]