1. 二分搜索
详见笔者博文：二分搜索的那些事儿，非常全面
2. 矩阵二分搜索
(1) 矩阵每行递增，且下一行第一个元素大于上一个最后一个元素
(2) 矩阵每行递增，且每列也递增
3. DFS 深度优先搜索
适用场景：
(1) 输入数据：如果是 递归数据结构(如单链表、二叉树)，则一定可以使用DFS
(2) 求解目标：必须走到最深处(例如二叉树，必须走到叶子节点)才能得到一个解，这种情况一般适合用DFS
思考步骤：
(1) DFS最常见的3个问题：求可行解的总数、求任一个可行解、求所有可行解
(a) 如果是 求可行解总数，则不需要 数组path[] 来存储 搜索路径
(b) 如果是 求可行解本身，则需要一个 数组path[] 来存储 搜索路径序列
DFS在搜索过程中 始终只有一条搜索路径，一直搜索到绝境再回溯继续搜索，因此只需要一个数组就可以了
BFS需要存储 扩展过程中的搜索路径，在没有找到答案之前 所有路径都不能放弃
(2) 只要求任一可行解？ 要求所有可行解？
如果只需要一个可行解，找到一个即可返回
如果要求所有可行解，找到一个可行解之后，必须继续扩展，直到遍历完
BFS一般只要求一个解，如果用BFS要求所有解，就需要扩展到所有叶子节点，相当于在内存中有指数级的存储空间
(3) 如何表示状态？
一个状态需要存储哪些必要的信息，才能够正确的扩展到下一步状态.
DFS一般使用函数参数的方法，因为DFS一般有递归操作，扩展下一状态只需要修改 递归函数的函数参数即可
BFS一般使用struct结构体存储所有信息，struct里的字段与DFS中的函数参数字段一一对应
(4) 如何扩展状态？
对于二叉树：扩展左子树、右子树
对于图、矩阵：题目告知，比如 只能向右或向下走， 比如 上下左右四个方向均可扩展
(5) 如何判重？
(a) 是否需要判重？
如果 状态转换图是 一棵树，则不需要判重，树的所有子树均分离，不存在重叠子问题，因此二叉树的所有DFS都不需要判重
如果 状态转换图是 DAG(有向无环图)，则需要判重，因此 所有的BFS都需要判重
(b) 怎样判重？
(6) 搜索的终止条件是什么？
终止条件是 不能继续扩展的末端结点
对于树：叶子节点
对于图：出度为0的节点
(7) 收敛条件是什么？
为了判断是否到达收敛条件，DFS一般需要在递归函数接口里 用一个参数记录当前状态(cur变量) 或者 距离目标还有多远(gap变量)
如果是 求一个解，直接返回这个解，即path路径数组
如果是 求所有解，则把 这个解path数组复制到 解集合中 (一般利用 c++ vector中的push_back函数，push时采用的是copy构造函数)
(8) 如何加速？
(a) 剪枝：图的DFS中需要挖掘各种信息，包括搜索边界、值大小关系等
(b) 缓存：状态转换图是DAG ==> 存在重叠子问题 ==> 字问题的解会被重复利用
如果输入结构是 二叉树，不存在重叠子问题，不需要缓存
一般使用c++11的 std::unordered_map来缓存，或者使用一个二维数组 std::vector<std::vector<int>>
DFS模板：
数据结构为树(二叉树)的DFS模板(不需要判重和缓存)：
/** DFS模板 * @param[in] input :对于二叉树一般为root指针，对于图一般是输入矩阵即二维数组 * @param[in] path：当前搜索路径，也是中间结果，一般为一维vector * @param[in] cur or gap：标记当前位置或距离目标的距离 * @param[out] result：存放最终结果，一般是二维vector，每一维为path数组 */ void dfs(type input, std::vector<int>& path, int cur or gap, std::vector<std::vector<int>>& result) { if (数据非法) return; // 终止条件，对于二叉树即input为空，对于图即 搜索边界越界 if (cur == input.size() or gap == 0) { // 收敛条件 result.push_back(path); } // 执行所有扩展路径 path.push_back(); // 执行动作，修改path // 扩展动作一般有多个，对于二叉树就是 input->left和input->right，对于图可能就是 y-1,y+1,x-1,x+1(上下左右) dfs(input, path, cur + 1 or gap - 1, result); path.pop_back(); // 恢复path }
例题： 二叉树路径和问题
数据结构为图的DFS模板(需要判重)：
/** DFS模板 * @param[in] input :对于二叉树一般为root指针，对于图一般是输入矩阵即二维数组 * @param[in] path：当前搜索路径，也是中间结果，一般为一维vector * @param[in] cur or gap：标记当前位置或距离目标的距离 * @param[in] visited：用于判重的二维数组 * @param[out] result：存放最终结果，一般是二维vector，每一维为path数组 */ void dfs(type input, std::vector<int>& path, int cur or gap, std::vector<std::vector<bool>> visited, std::vector<std::vector<int>>& result) { if (数据非法) return; // 终止条件，对于二叉树即input为空，对于图即 搜索边界越界 if (cur == input.size() or gap == 0) { // 收敛条件 result.push_back(path); } if(visited[x][y] == true) return; // 判重 // 执行所有扩展路径 visited[x][y] = true; path.push_back(); // 执行动作，修改path // 扩展动作一般有多个，对于二叉树就是 input->left和input->right，对于图就是 y-1,y+1,x-1,x+1(上下左右) dfs(input, path, cur + 1 or gap - 1, visited, result); path.pop(); // 恢复path visited[x][y] = false; }
例题：在字符矩阵中查找单词
4. BFS 广度优先搜索
适用场景：求最短搜索路径
/** BFS模板 * param[in] state_t:状态，如整数、字符串、数组等 * param[in] start:起点 * parma[in] grid:输入矩阵数据 * return 从起点到目标状态的一条最短路径 */ std::vector<state_t> bfs(state_t start, std::vector<std::vector<int>>& grid) { std::queue<state_t> que; // 队列 std::unordered_set<state_t> visited; // 判重，也可以直接使用 二维vector bool found = false; que.push(start); visited.insert(start); while (!que.empty()) { state_t state = que.front(); que.pop(); if (state为目标状态) { found = true; break; } // 扩展状态，对于二叉树即左右子树，对于图可能就是上下左右四个方向 std::vector<state_t> stateVec = state_extend(state); // 扩展状态必须考虑 搜索边界越界时的剪枝 和 visited的判重 for (auto iter = stateVec.begin(); iter != stateVec.end(); ++iter) { state_t curState = *iter; if (curState为目标状态) { found = true; break; } // curState不满足目标状态,则入队 que.push(curState); visited.insert(start); } } if (found) { return generate vector<state_t>; } else { return vector<state_t>(); } }
5. 综合
走迷宫问题
迷宫矩阵中元素全为0或1，0代表通路，1代表障碍，每次可以上下左右四个方向走，现在要求：
求 出发点到终点的所有可行路径？
求 出发点到终点的最短路径？
前面讲过，最短问题一般使用BFS，可不可以使用DFS呢？ 当然可以
记住：DFS可以求出出所有的可行解，所有的解都求出来了，最短的路径当然可以确定了，只是这是DFS的效率明显比BFS低
现在我们使用 DFS 和 BFS 求第二个问题
(1) DFS求解，每次求得一个可行路径时，我们就与前一个可行解做出大小判断，最后结果即为最短路径
int dx[4] = {-1, 1, 0, 0}; // x --> row int dy[4] = {0, 0, -1, 1}; // y --> col int minStep = INT_MAX; // 最终结果 void dfs(std::vector<std::vector<int>>& maze, const std::vector<int>& start, const std::vector<int>& end, int curX, int curY, int step) { if (curX == end.at(0) && curY == end.at(1)) { // 求得可行解 minStep = std::min(minStep, step); // 更新最小解 return; } for (int i = 0; i < 4; ++i) { // 上下左右4个方向进行搜素扩展 int nextX = curX + dx[i]; int nextY = curY + dy[i]; if (nextX < 0 || nextX >= maze.size()) continue; // 搜索边界剪枝 if (nextY < 0 || nextY >= maze.at(0).size()) continue; // 搜索边界剪枝 if (maze.at(nextX).at(nextY) == 0) { // 必须是通路，即判重 maze.at(nextX).at(nextY) = 1; // 标记已访问过 dfs(maze, start, end, nextX, nextY, step + 1); // 执行搜索扩展 maze.at(nextX).at(nextY) = 0; // 回溯操作 } } }
(2) BFS求解，使用一个结构体保存坐标状态，使用一个队列辅助BFS操作
int dx[4] = {-1, 1, 0, 0}; // x --> row int dy[4] = {0, 0, -1, 1}; // y --> col int minStep = 0; // 最终结果 // 保存坐标状态 struct node { int x; int y; node(int xPos, int yPos) : x(xPos), y(yPos) { } }; std::queue<node> que; int minStep(std::vector<std::vector<int>>& maze, const std::vector<int>& start, const std::vector<int>& end) { que.push(node(start.at(0), start.at(1))); maze.at(start.at(0)).at(start.at(1)) = 1; //标记已访问过 while (!que.empty()) { node curNode = que.front(); que.pop(); if (curNode.x == end.at(0) && curNode.y == end.at(1)) { // 求得可行解，BFS一定是最短 return minStep; } for (int i = 0; i < 4; ++i) { // 上下左右4个方向进行搜索扩展 int nextX = curNode.x + dx[i]; int nextY = curNode.y + dy[i]; if (nextX >= 0 && nextX < maze.size() && nextY >= 0 && nextY < maze.at(0).size() && maze.at(nextX).at(nextY) == 0) { que.push(node(nextX, nextY)); maze.at(nextX).at(nextY) = 1; // 标记已访问过 } } ++minStep; // 增大每一层搜索的距离 } return 0; // 存在没有可行路径的可能 }