最长公共子序列问题

最长公共子序列：

给定一个序列X={x1,x2,x3...xm}，另一个序列Z={z1,z2,z3...zk}满足如下条件时称为X的子序列，即存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2...ik>对所有j=1,2...k满足xi=zj。给定两个序列X,Y，如果既是X的子序列又是Y的子序列，那就称为X,Y的公共子序列。最长公共子序列就是所有子序列中最长的一个或几个。

用动态规划法来解最长公共子序列问题：

1.刻画最长公共子序列的特征

令X={x1,x2,x3...xm}，Y={y1,y2,y3...yn}，Z={z1,z2,z3...zk}是X,Y的公共子序列。

LCS的最优子结构为：

1.if xm==yn 则zk==xm==yn且zk-1是xm-1,yn-1的LCS

2. if xm != yn 那么zk!=xm意味着Z是xm-1和Y的LCS

3.if xm != yn 那么zk!=yn意味着Z是X和yn-1的LCS

2.递归解

定义c[i][j表示Xi和YjLCS长度，有如下公式：

　　　　         0　　　　　　　　　　　　i==0 || j==0

c[i][j] =          c[i-1][j-1]+1　　　　　　i,j>0&&xi==yj

　　　　　　max(c[i][j-1], c[i-1][j])       i,j>0&&xi!=yj

3.计算LCS长度

用b[i][j]来保存子问题的最优解

伪码：（算法导论）

c[i][j]和吧b[i][j]的跟踪

4.构造LCS

伪码：

实现代码：

package dp_lcs;

/**
 *最长公共子序列
 *@author wxisme
 *@time 2015-10-22 下午4:49:44
 */
public class Solve_LCS {
    
    public static char[] x;
    
    public static char[] y;
    
    public static int[][] c; //c[i][j]表示xi,yj的lcs
    public static int[][] b; //记录最优值
    
    /**
     * 计算LCS
     */
    public static void lcs_length() {
        int m = x.length+1;
        int n = y.length+1;
        
        c = new int[m][n];
        b = new int[m][n];
        
        for(int i=0; i<m; i++)
            c[i][0] = 0;
        
        for(int j=0; j<n; j++)
            c[0][j] = 0;
        
        for(int i=1; i<m; i++) {
            for(int j=1; j<n; j++) {
                if(x[i-1] == y[j-1]) {
                    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                    b[i][j] = 1; //左上
                }
                
                else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) {
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                    b[i][j] = 2; //上
                }
                
                else {
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                    b[i][j] = 3; //左
                }
                
            }
        }
        
    }
    
    /**
     * 构造LCS
     * @param i
     * @param j
     */
    public static void print_LCS(int i, int j) {
        if(i==0 || j==0) 
            return ;
        
        if(b[i][j] == 1) {
            print_LCS(i-1, j-1);
            System.out.print(x[i-1]);
        }
        else if(b[i][j] == 2) {
            print_LCS(i-1, j);
        }
        else {
            print_LCS(i, j-1);
        }
        
    }
    
}

测试数据：

public static void main(String[] args) {
        Solve_LCS ret = new Solve_LCS();
        x = new char[]{'A', 'B', 'C', 'B', 'D', 'A', 'B'};
        y = new char[]{'B', 'D', 'C', 'A', 'B', 'A'};
        
        
        ret.lcs_length();
        
        ret.print_LCS(x.length, y.length);
    }

结果：

BCBA

参考算法导论第三版