合唱队形解题报告
2016-05-12 4：30——6：45
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NOIP200407合唱队形 |
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难度级别：A； 运行时间限制：1000ms； 运行空间限制：256000KB； 代码长度限制：2000000B |
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试题描述 |
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N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。 |
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输入 |
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第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。 |
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输出 |
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包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。 |
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输入示例 |
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8 |
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输出示例 |
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4 |
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其他说明 |
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数据范围：n<=100。 |
代码：
1 #include<iostream> 2 3 using namespace std; 4 5 int b[110],c[110],a[110]; 6 7 // 分别定义了三个数组：数组a（用来储存输入数据），数组b（用来存储从a[1]到a[n]的最大严格上升子序列长度），数组c（用来存储从a[n]到a[1]的最大严格下降子序列长度） 8 9 int main() 10 11 { 12 13 14 15 int n,ans=0,i,j; 16 17 scanf("%d",&n);//输入 18 19 for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); 20 21 b[1]=1; 22 23 for(i=2;i<=n;i++) 24 25 //从a[2]开始求最大严格上升子序列长度 26 27 { 28 29 b[i]=1; 30 31 for(j=1;j<i;j++) 32 33 if(a[i]>a[j]) b[i]=max(b[i],b[j]+1); 34 35 //如果a[i]>a[j]，则可能从a[1]到a[i]的最大严格上升子序列长度又增加了1。 36 37 } 38 39 c[n]=1; 40 41 //从a[n]开始求最大严格上升子序列长度 42 43 for(i=n-1;i>=1;i--) 44 45 { 46 47 c[i]=1; 48 49 for(j=n;j>i;j--) 50 51 if(a[i]>a[j]) c[i]=max(c[i],c[j]+1); 52 53 //如果a[i]<a[j]，则可能从a[i]到a[n]的最大严格上升子序列长度又增加了1。 54 55 } 56 57 for(i=1;i<=n;i++) 58 59 if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];//更新答案 60 61 printf("%d",n-ans+1);//输出 62 63 }
《合唱队形》这道题其实就是《求最长下降/上升子序列》的翻版。但如果用循环直接搜固然很难办，而且不知道会用多长时间，所以，简单动态规划的思想很容易办到。
b[i]=1;
这句赋值语句固然很好理解，每一个元素，也可以视为一个符合题意的子序列，不论是最长上升、最长下降。所以从a[1]
到a[i]的符合题意的子序列必将有一个。比如有如下一组数。
b[1]是 1，原因如上。
那b[2]呢？如图，它显然比a[1]高，在执行如下语句时
for(j=1;j<i;j++) if(a[i]>a[j])
j小于i，也就是2，目前符合条件的只有a[1]，a[1]又通过了判断语句，它确实小于a[i]，执行下一条语句：
b[i]=max(b[i],b[j]+1);
b[2]显然原来是1，当它和b[1]+1比时，1当然比2小，所以，b[2]自然就是2了。由此，这个方法只需要一维数组就行了。、
O(nlogn)的方法，将下次介绍。这样的方法的时间复杂度为O(n^2)。
b[1]=1;
解决完了这个问题，这道题就非常简单了，先从下往上搜一遍最长上升子序列，代码如下：
for(i=2;i<=n;i++)
{
b[i]=1;
for(j=1;j<i;j++)
if(a[i]>a[j]) b[i]=max(b[i],b[j]+1);
}
再反着从上往下搜一下最长上升子序列：
这段代码一定就很好理解了：
for(i=1;i<=n;i++)
if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];
一直更新ans，要求出队人数最少，自然要让保留人数最多。
最后输出n-ans+1。