约瑟夫问题
约瑟夫问题是一类经典的又非常简单的基础数论问题
题目大意(选班长)：
N个人围成一个圈，依次编号为0..N-1。然后随机抽选一个数K，并0号候选人开始按从1到K的顺序依次报数，N-1号候选人报数之后，又再次从0开始。当有人报到K时，这个人被淘汰，从圈里出去。下一个人从1开始重新报数。最后一个人即是班长。
换成示意图即是这样：
设N=5，K=3
1：从0开始报数，报到K，也就是2,2退出
2：从3开始报数，遇到4返回0，0退出
3：从1开始报数，报到4，4退出
4：从1开始报数，报到3然后报回1,1退出，则3为班长
那么很容易想到朴素的递推算法：
f[1]=0; for(int i=2;i<=N;i++) f[i]=(f[i-1]+K)%i; cout<<f[N];
f[i]表示当有i个人时最后班长的编号。
那么我们考虑多添加一个人对最后结果的影响
最终肯定是多添加了一个元素导致整体K前移，而偏移的是K，所以要加回来。
我们可以发现，这种算法在普通时是可以使用的，但是如果N增大，时间、空间都会炸
(部分参照hihocoder)
我们假定一个初始序列：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
当7号进行过报数之后：
0 1 2 - 4 5 6 - 8 9
在这里一轮报数当中，有两名候选人退出了，退出的候选人数量为N/K
由于此时起点为8，则等价于：
2 3 4 - 5 6 7 - 0 1
因此我们仍然可以从f[8]的结果来推导出f[10]的结果。
但需要注意的是，此时f[10]的结果并不一定直接等于(f[8] + 8) mod 10。
这是因为在序列(2 3 4 - 5 6 7 - 0 1)中，数字并不是连续的。
因此我们需要根据f[8]的值进行分类讨论。假设f[8]=s，则根据s和N mod K的大小关系有两种情况：
1) s < N mod K : s' = s - N mod K + N 2) s ≥ N mod K : s' = s - N mod K + (s - N mod K) / (K - 1)
由于我们不断的在减小N的规模，最后一定会将N减少到小于K，此时N/K=0。
因此当N小于K时，就只能采用第一种递推的算法来计算了。
下面给出详细代码：(回家拿题乱写了一发，然后貌似就A了……)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
int Josen(int N,int K){
int ret=0;
if(N==1) return 0;//如果N=1返回计算出的结果，避免无限递归
if(N<K){//迫不得已采用朴素算法求解
for(int i=2;i<=N;i++) ret=(ret+K)%i;
return ret;
}
else{
ret=Josen(N-N/K,K);//缩小问题规模
if(ret<N%K) ret=ret-N%K+N;//分类讨论
else ret=ret-N%K+(ret-N%K)/(K-1);
return ret;
}
}
int T;
int N,K;
int main(){
T=read();
while(T--){
N=read(),K=read();
cout<<Josen(N,K)<<endl;
}
}