高斯消元法

高斯消元法

可以用于求解线性方程组，即n元1次方程组。利用矩阵，大致思路与普通解方程方法类似。只是更具一般性。将系数与右侧的常数存成一个矩阵，然后每次用第i行消去下面每行的第i个系数，最后就会得到一个一元方程，然后从后到前依次代回即可。

　　然后就是精度的问题，因为计算机中没有分数，所以只能用double来存，但是double的精度也是有限的，所以要想办法维护精度。

　　第一种优化办法就是在用第i行去消第i个系数时，从下面所有行中选择第i个系数的绝对值最大的一个与当前行交换，这样可以使每次消元时差距尽量大，然后就可以保持精度了。

　　第二种优化就是在进行消元时，不是用一个变量来储存两行首元素的商，而是每次直接计算。这样就必须防止第一行提前被修改，所以倒着进行修改。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=110,M=1010;
int n,m;
double a[N][N],tmp[N][N],ans[N];
inline void work()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int kk=i;
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
            if(abs(a[kk][i])<abs(a[j][i]))
                kk=j;
        if(kk!=i)
        for(int j=1;j<=n+1;++j)
            swap(a[kk][j],a[i][j]);
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            for(int k=n+1;k>=i;--k)
                a[j][k]=a[j][k]-a[j][i]/a[i][i]*a[i][k];
        }
    }
    
    for(int i=n;i>=1;--i)
    {
        for(int j=n;j>i;--j)
        {
            a[i][j]*=ans[j];
            a[i][n+1]-=a[i][j];
        }
        ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            scanf("%lf",&tmp[i][j]);
    for(int k=1;k<=m;++k)
    {
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                a[i][j]=tmp[i][j];
        for(int j=1;j<=n;++j)
            scanf("%lf",&a[j][n+1]);
        work();
        for(int i=1;i<=n;++i)
            printf("%.9llf ",ans[i]);
        printf("
");
    }
    return 0;
}