BSGS与扩展BSGS

BSGS

(BSGS)算法又称大步小步((Baby-Step-Giant-Step))算法

(BSGS)算法主要用于解以下同余方程

[A^xequiv B(mod p) ]

其中((A,P)=1),即(A)与(P)互质

前置知识

根据欧拉定理(A^{ varphi(p)} equiv1(mod p))，所以(A^x(mod p))的循环节为(varphi(p)).也就是说如果上面的方程有解(x)，那么肯定有(x in [0,varphi(p)])，所以我们可以枚举一下(x)求解

推导

上面是暴力的做法，而(BSGS)就是利用分块的思想将上面的算法复杂度优化为(sqrt{varphi(p)})(哈希表做法)或者(sqrt{varphi(p)} log;p)(map)做法
我们令(m=lceil sqrt{varphi(p)} ceil),那么任何一个(xin [0,varphi(p)])都可以被表示成(im-j(i in [1,m],jin [0,m]))的形式
则原式可表示为$$A^{im-j} equiv B(mod p)$$

[A^{im}equiv A^jB(mod p) ]

实现

所以先将右边(A^jB(j in[0,m]))预处理出来，存到(hash)表中。
然后枚举左边的(i in[1,m])计算出(A^{im})，并在(hash)表中查询。
枚举(i,j)的复杂度都是(sqrt{varphi(p)})，常数取决于(hash)表
有个细节的地方，一般我们都是要求(x)最小的，所以我们希望(j)更大，(i)更小。所以在往(hash)表中存的时候，保留更大的那个(j)。从小到大枚举(i)，遇到可行答案直接输出即可。

例题

luogu3846

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define int ll
map<int,int>ma;
ll read() {
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') {
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
int B,A,L,P;
int qm(int x,int y) {
	int ret = 1;
	for(;y;y >>= 1,x = 1ll * x * x % P)
		if(y & 1) ret = 1ll * x * ret % P;
	return ret;
}

signed main() {
	P = read(),A = read(),B = read();
	ma.clear();
	int m = ceil(sqrt(P));
	int now = B;
	for(int i = 0;i <= m;++i) {
		ma[now] = i + 1;
		now = 1ll * now * A % P;
	}
	now = 1;
	int ans = -1;
	int kk = qm(A,m);
	for(int i = 1;i <= m;++i) {
		now = 1ll * now * kk % P;
		if(ma[now]) {
			ans =i * m - ma[now] + 1;
			break;
		}
	}
	if(ans == -1) puts("no solution");
	else printf("%lld
",ans);

	return 0;
}

扩展BSGS

(BSGS)算法有一定的局限性((A,p)互质())。扩展(BSGS)可以处理(A,p)不互质的情况。

推导

我们已经会了(A,p)互质的情况，对于(A,p)不互质的情况，只要将转化为(A,p)互质即可。
令(d=gcd(A,p))。
如果(d mid B)，那么要么(B=1),则答案为(0)。否则根据裴蜀定理一定无解。所以我们只要在一开始的时候特判一下(B=1)的情况。后面只要发现(d mid B)就可以说明无解。
所以现在我们假设(dmid B)。
我们将(A,B,P)同时除以一个(d)。即

[A^{x-1}frac{A}{d} equiv frac{B}{d}(mod frac{p}{d}) ]

然后重复此操作，直到(d = 1)
得到同余方程

[A^{x-k}frac{A^k}{prodlimits_{i=1}^kd_i} equiv frac{B}{prodlimits_{i=1}^kd_i}(mod frac{p}{prodlimits_{i=1}^kd_i}) ]

设(p'=frac{p}{prodlimits_{i=1}^kd_i},B'=frac{B}{prodlimits_{i=1}^kd_i},C=frac{A^k}{prodlimits_{i=1}^kd_i},x'=x-k)
原式就变为$$A^{x'}Cequiv B'(mod p')$$
然后就转化为了(A,p')互质的情况，就可以用普通的(BSGS)做了。

例题

luogu4195

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define int ll
map<int,int>ma;
ll read() {
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') {
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
int A,B,P;
int gcd(int x,int y) {
	return !y ? x : gcd(y,x % y);
}
int qm(int x,int y) {
	int ans = 1;
	for(;y;y >>= 1,x = 1ll * x * x % P) {
		if(y & 1) ans = 1ll * ans * x % P;
	}
	return ans;
}

signed main() {
	// freopen("in.in","r",stdin);
	while(1) {
		ma.clear();
		A = read(),P = read(),B = read();
		if(!A and !B and !P) return 0;
		if(B == 1) {
			puts("0");continue;//特判掉b=1的情况
		}
		int bz = 0,C = 1,d = gcd(A,P),K = 0;
		while(d != 1) {
			if(B % d) {
				puts("No Solution");
				bz = 1;break;
			}
			P /= d;
			B /= d;
			++K;
			C = 1ll * C * (A / d) % P;
			d = gcd(A,P);
			if(B == C) {
				printf("%d
",K);
				bz = 1;
				break;
			}
		}
		if(bz == 1) continue;
		int m = ceil(sqrt(P));
		int now = B;
		for(int i = 0;i <= m;++i) {
			ma[now] = i + 1;
			now = 1ll * now * A % P;
		}
		now = C;
		int ans = -1;
		int kk = qm(A,m);
		for(int i = 1;i <= m;++i) {
			now = 1ll * now * kk % P;
			if(ma[now]) {
				ans =i * m - ma[now] + 1 + K;
				break;
			}
		}
		if(ans == -1) puts("No Solution");
		else printf("%lld
",ans);
	}

	return 0;
}