CH5103 传纸条【线性dp】

5103 传纸条 0x50「动态规划」例题

描述

给定一个 N*M 的矩阵A，每个格子中有一个整数。现在需要找到两条从左上角 (1,1) 到右下角 (N,M) 的路径，路径上的每一步只能向右或向下走。路径经过的格子中的数会被取走。两条路径不能经过同一个格子。求取得的数之和最大是多少。N,M≤50。

输入格式

第一行有2个用空格隔开的整数n和m，表示有n行m列（1<=n,m<=50）。
接下来的n行是一个n*m的矩阵，每行的n个整数之间用空格隔开。

输出格式

一个整数，表示答案。

样例输入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

34

数据范围与约定

• 30%的数据满足：1<=m,n<=10 
  100%的数据满足：1<=m,n<=50

来源

CCF NOIP2008 T3

题意：n*m的格子里每个格子有一个权值，从（1,1）走到（n,m）两条路，（只能向下或者向右）求路径之和。走过的格子只算一次权值。

思路：

把“路径长度”即当前走过的步数作为DP的“阶段”。【因为只能向下或向右，走到（n，m）时的路径长度是n+m-2】

每一个阶段中，把两条路径同时扩展一步，路径长度增加1，从而转移到下一个阶段。

还需确定两条路径当前的末尾位置。并且 x1+y1 = x2 + y2 = i + 2

所以就可以用三维dp维护，每次有4种扩展方式。并且要考虑扩展后是否两个点坐标相同。

目标是dp[n+m-2][n][n]

#include <bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<map>

#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;

int n, m;
const int maxn = 55;
int g[maxn][maxn];
int dp[maxn * 2][maxn][maxn] = {0};

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            scanf("%d", &g[i][j]);
        }
    }

    dp[0][1][1] = g[1][1];
    for(int i = 0; i <= n + m - 2; i++){
        for(int x1 = 1; x1 <= min(n, i + 1); x1++){
            for(int x2 = 1; x2 <= min(n, i + 1); x2++){
                int y1 = i + 2 - x1, y2 = i + 2 - x2;
                if(x1 == x2 && y1 == y2){
                    dp[i + 1][x1][x2] = max(dp[i + 1][x1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + 1]);
                    dp[i + 1][x1 + 1][x2 + 1] = max(dp[i + 1][x1 + 1][x2 + 1], dp[i][x1][x2] + g[x1 + 1][y1]);
                }
                else{
                    dp[i + 1][x1][x2] = max(dp[i + 1][x1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + 1] + g[x2][y2 + 1]);
                    dp[i + 1][x1 + 1][x2 + 1] = max(dp[i + 1][x1 + 1][x2 + 1], dp[i][x1][x2] + g[x1 + 1][y1] + g[x2 + 1][y2]);
                }

                if(x1 == x2 + 1 && y1 + 1 == y2){
                    dp[i + 1][x1][x2 + 1] = max(dp[i + 1][x1][x2 + 1], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + 1]);
                }
                else{
                    dp[i + 1][x1][x2 + 1] = max(dp[i + 1][x1][x2 + 1], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + 1] + g[x2 + 1][y2]);
                }

                if(x1 + 1 == x2 && y1 == y2 + 1){
                    dp[i + 1][x1 + 1][x2] = max(dp[i + 1][x1 + 1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1 + 1][y1]);
                }
                else{
                    dp[i + 1][x1 + 1][x2] = max(dp[i + 1][x1 + 1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1 + 1][y1] + g[x2][y2 + 1]);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d
", dp[n + m - 2][n][n]);
    return 0;
}