概率趣题：三个犯人

概率趣题：三个犯人

三个犯人都住在隔离间，并且都被判处了死刑。监狱官赦免了其中
一个犯人。看守知道谁会赦免，但不会说。

犯人A脸皮厚，想让看守告诉他，B和C谁会被执行死刑。

• 如果赦免的是B，看守就会说C；
• 如果赦免的是C，看守就会说B；
• 如果赦免的是A，看守就抛硬币决定说B或者C。

看守告诉A，犯人B将会执行死刑。

犯人A兴奋不已，他决得自己生存的几率变为了0.5（因为B不可能被赦免了）
犯人A将此告诉了C，C同样很兴奋，他的理由是：A生存的机率仍然是1/3,但
自己生存的机率变为了2/3.

那么，谁错了？

答案：C是对的。

以下是我的解答：
设事件A：A被赦免，事件B：B被赦免，事件C：C被赦免
事件D₁：看守说了B，事件D₂：看守说了C。

于是，已知条件为：
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(D₁|A) = 0.5, P(D₁|B) = 0, P(D₁|C) = 1
P(D₂|A) = 0.5, P(D₂|B) = 1, P(D₂|C) = 0
我们要求的就是
P(A|D₁), P(C|D₁)
即在看守说了B的条件下，A和C分别被赦免的概率。

由贝叶斯公式，
P(A|D₁) = (P(D₁|A) * P(A)) / P(D₁) = 1/3
P(C|D₁) = (P(D₁|C) * P(C)) / P(D₁) = 2/3

其中P(D₁) = P(D₁|A)P(A)+P(D₁|B)P(B)+P(D₁|C)P(C)

小结

这道题看似复杂，其实由章可循。只要抽象出具体的事件，
写出相应的事件的概率，这就变成了概率论课程中的送分题。
关键在于建模的过程
最后，用这篇博文，来祝愿大家在概率论与数理统计的期末考试中
取得好成绩。