概率趣题:三个犯人
三个犯人都住在隔离间,并且都被判处了死刑。监狱官赦免了其中
一个犯人。看守知道谁会赦免,但不会说。
犯人A脸皮厚,想让看守告诉他,B和C谁会被执行死刑。
- 如果赦免的是B,看守就会说C;
- 如果赦免的是C,看守就会说B;
- 如果赦免的是A,看守就抛硬币决定说B或者C。
看守告诉A,犯人B将会执行死刑。
犯人A兴奋不已,他决得自己生存的几率变为了0.5(因为B不可能被赦免了)
犯人A将此告诉了C,C同样很兴奋,他的理由是:A生存的机率仍然是1/3,但
自己生存的机率变为了2/3.
那么,谁错了?
答案:C是对的。
以下是我的解答:
设事件A:A被赦免,事件B:B被赦免,事件C:C被赦免
事件D1:看守说了B,事件D2:看守说了C。
于是,已知条件为:
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(D1|A) = 0.5, P(D1|B) = 0, P(D1|C) = 1
P(D2|A) = 0.5, P(D2|B) = 1, P(D2|C) = 0
我们要求的就是
P(A|D1), P(C|D1)
即在看守说了B的条件下,A和C分别被赦免的概率。
由贝叶斯公式,
P(A|D1) = (P(D1|A) * P(A)) / P(D1) = 1/3
P(C|D1) = (P(D1|C) * P(C)) / P(D1) = 2/3
其中P(D1) = P(D1|A)P(A)+P(D1|B)P(B)+P(D1|C)P(C)
小结
这道题看似复杂,其实由章可循。只要抽象出具体的事件,
写出相应的事件的概率,这就变成了概率论课程中的送分题。
关键在于建模的过程
最后,用这篇博文,来祝愿大家在概率论与数理统计的期末考试中
取得好成绩。