8.25考试总结
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由于某些不可告知的原因,暂时不公开
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原题,搞一个堆来贪心的选,每次选择一个下一个离得最远的点扔出去
这样正确性显然
如果一个数在堆里,我们要把他的nxt修改一下
这个貌似用堆不太好维护
我们就考虑换成set,因为这个数一定是最小的
直接搞搞就可以了
//STL重度依赖症QAQ
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<ctime>
#include<cmath>
#define LL long long
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 3e5 + 3;
int a[N],nxt[N];
int n,k;
int pos[N];
bool book[N];
int ans;
multiset < pii > s;
multiset < pii >::iterator it;
inline int read(){
int v = 0,c = 1;char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch == '-') c = -1;
ch = getchar();
}
while(isdigit(ch)){
v = v * 10 + ch - 48;
ch = getchar();
}
return v * c;
}
int main(){
freopen("page.in","r",stdin);
freopen("page.out","w",stdout);
n = read(),k = read();
for(int i = 1;i <= n;++i) {
a[i] = read();
if(pos[a[i]]) nxt[pos[a[i]]] = i;
pos[a[i]] = i;
}
for(int i = 1;i <= n;++i) if(!nxt[i]) nxt[i] = n + 1;
for(int i = 1;i <= n;++i){
if(book[a[i]]){
it = s.begin();
pii x = *it;
s.erase(it);
s.insert(mk(nxt[i],i));
continue;
}
if(s.size() < k){
ans++;
book[a[i]] = 1;
s.insert(mk(nxt[i],i));
continue;
}
ans++;
it = s.end();it--;
pii x = *it;
s.erase(it);
s.insert(mk(nxt[i],i));
book[a[x.se]] = 0;
book[a[i]] = 1;
}
printf("%d
",ans);
return 0;
}
graph
首先,模型转化,题目变成了
给你(n)个连通块,连通块内的点不能在连通块内的位置
求合法的排列个数
首先(m = 0)怎么做
所有的连通块的大小都是(1)的本质是错排
我们回想一下错排的容斥写法
[ans = sum_{i = 0}^n(-1)^ileft(egin{array}{l}{i} \ {n}end{array}
ight)(n - i)!
]
强制(i)个点在不合法的位置上,其余的点随便排
接下来我们进行推广,当连通块大小不为(0)是,我们就不能这么算了
但我们还是考虑如何算出至少有(j)个点不合法的方案数
之后发现这个东西之和连通块的大小有关
我们设(g_{i,j})表示大小为(i)的连通块,选了(j)个点的方案数,很明显,这(j)个点都是不合法的
[g_{i,j} = left(egin{array}{l}{i} \ {j}end{array}
ight) imesfrac{i!}{(i - j)!}
]
前面就是我们选出(j)个点,后面是乘法原理
第一个点有(i)种选择,第二个点有(i - 1)个
所以就是(i imes(i - 1) imesdots imes(i - j + 1) = frac{i!}{(i - j)!})
那么我们设(f_{i,j})表示考虑了前(i)个连通块至少有(j)个点不合法的方案数
转移就是枚举这个连通块选了多少了不合法点
[f_{i,j }= sum_{k = 0}^{size_i}f_{i - 1,j - k} imes{g_{size_i,k}}
]
这样我们在像错排那样把答案容斥出来就好了
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<cmath>
#define LL long long
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 2003;
const LL mod = 1e9 + 7;
LL f[N][N];
LL g[N][N];
int n,m,tot;
int fa[N];
int size[N];
int be[N];
LL inv[N],fac[N];
inline int getf(int x){
return fa[x] == x ? x : fa[x] = getf(fa[x]);
}
inline int read(){
int v = 0,c = 1;char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch == '-') c = -1;
ch = getchar();
}
while(isdigit(ch)){
v = v * 10 + ch - 48;
ch = getchar();
}
return v * c;
}
inline LL quick(LL x,LL y){
LL res = 1;
while(y){
if(y & 1) res = res * x % mod;
y >>= 1;
x = x * x % mod;
}
return res;
}
inline LL C(LL x,LL y){
if(x < y) return 0;
return fac[x] * inv[y] % mod * inv[x - y] % mod;
}
inline LL up(LL x){
if(x >= mod) x -= mod;
return x;
}
int main(){
n = read(),m = read();
fac[0] = inv[0] = 1;
for(int i = 1;i <= n;++i){
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
inv[i] = quick(fac[i],mod - 2);
}
for(int i = 1;i <= n;++i) fa[i] = i;
for(int i = 1;i <= m;++i){
int u = getf(read()),v = getf(read());
fa[u] = v;
}
for(int i = 1;i <= n;++i){
int x = getf(i);
be[i] = x;
// if(x == i) tot++;
size[x]++;
}
for(int i = 1;i <= n;++i){
if(size[i]) size[++tot] = size[i];
}
for(int i = 0;i <= n;++i)
for(int j = 0;j <= i;++j)
g[i][j] = C(i,j) * fac[i] % mod * inv[i - j] % mod;
f[0][0] = 1;
//printf("%d ",tot);
//for(int i = 1;i <= tot;++i) printf("%d ",size[i]);puts("");
for(int i = 1;i <= tot;++i){
for(int j = 0;j <= n;++j){
for(int k = 0;k <= min(j,size[i]);++k){
f[i][j] = up(f[i][j] + f[i - 1][j - k] * g[size[i]][k] % mod);
}
}
}
LL ans = 0;
for(int i = 0;i <= n;++i){
if(i & 1) ans -= f[tot][i] * fac[n - i] % mod;
else ans += f[tot][i] * fac[n - i] % mod;
}
printf("%lld
",(ans % mod + mod) % mod);
return 0;
}