[HAOI2007]理想的正方形

Description

BZOJ1047

Solution

首先易得暴力DP：(f[i][j][k])表示以(i,j)为左上角的边长为k的正方形的最大值（或最小值），可得(f[i][j][k] = min{a[i][j], f[i+1][j][k-1], f[i][j+1][k-1], f[i+1][j+1][k-1]})，复杂度高达(O(abn))，数量级约为(10^9)，无法通过数据。

考虑优化，由于是最值问题，即RMQ问题，由此可以想到ST表，复杂度(O(ablog n))，基本能卡过时限，但是空间限制比较悬，还需要改进（其实用滚动数组就能优化到能过）。

继续优化，考虑区间最值问题的另一种解决办法：单调队列，首先将行分别维护单调队列，求出第i行中区间([j,j+n-1])中的最值，记为(m[i][j])，然后对m中的每一列维护单调队列，求出第j列中区间([i,i+n-1])的最值，记为(f[i][j])，则(f[i][j])为以(i,j)为左上角的边长为k的正方形的最值，直接统计答案即可，时空复杂度均为(O(ab))，已经足够优秀。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N = 1010;

int a[N][N], mxa[N][N], mna[N][N], mxb[N][N], mnb[N][N];
int mx[N], mxhd, mxtl, mn[N], mnhd, mntl, mxp[N], mnp[N];
int n, m, k;

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= m; ++j) scanf("%d", &a[i][j]);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		mxhd = mxtl = mnhd = mntl = 0;
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			while (mxtl != mxhd && mx[mxtl-1] <= a[i][j]) mxtl--;
			mx[mxtl] = a[i][j]; mxp[mxtl] = j; mxtl++;
			if (mxp[mxhd] == j - k) mxhd++;
			if (j >= k) mxa[i][j] = mx[mxhd];

			while (mntl != mnhd && mn[mntl-1] >= a[i][j]) mntl--;
			mn[mntl] = a[i][j]; mnp[mntl] = j; mntl++;
			if (mnp[mnhd] == j - k) mnhd++;
			if (j >= k) mna[i][j] = mn[mnhd];
		}
	}
	int ans = 0x3f3f3f3f;
	for (int j = k; j <= m; ++j) {
		mxhd = mxtl = mnhd = mntl = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			while (mxtl != mxhd && mx[mxtl-1] <= mxa[i][j]) mxtl--;
			mx[mxtl] = mxa[i][j]; mxp[mxtl] = i; mxtl++;
			if (mxp[mxhd] == i - k) mxhd++; // mark
			if (i >= k) mxb[i][j] = mx[mxhd];

			while (mntl != mnhd && mn[mntl-1] >= mna[i][j]) mntl--;
			mn[mntl] = mna[i][j]; mnp[mntl] = i; mntl++;
			if (mnp[mnhd] == i - k) mnhd++; // mark
			if (i >= k) mnb[i][j] = mn[mnhd];
		}
		for (int i = k; i <= n; ++i) {
			ans = std::min(ans, mxb[i][j] - mnb[i][j]);
		}
	}
	printf("%d
", ans);
	return 0;
}

Note

mark那里将i错写成j，导致调了好久，还是要注意。