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  • 树上差分

    树上差分建立在差分数组的基础上,所以还不会差分数组的大佬可以先预习一下这篇博客,期望阅读时间5分钟:差分数组


    引入这样一个例题,给定一棵n(n≤105)个点的树,m(m≤105)次操作,将这棵树上的两点之间的最短路径上的每一个点都加k或者都减k,在这m次操作之后求出每个点的值。

    首先,在你没有学过树上差分的时候,你会想到用倍增或者是塔尖求出这两个点的LCA然后暴力更改,显然这样每一次操作时间复杂度最劣会是O(n),显然不能接受。

    那么我们现在引入树上差分。

    树上差分我们可以先感性的理解为树上的差分数组。

    树上差分分为两种,一种是边的差分,另一种是点的差分。

    那么今天我们就先来讲一下点的差分。

    大家现在一定会想像差分数组从前往后扫一样从根往下扫,每个点存它与它的父亲的差,但是认真想一下,这样会存在一个问题,如果我将一条路径上每个点的值都增加k,那么这条路径上的其它枝杈都要打标记减去k。

    如图:

    这样当路径上的枝杈过多时,时间复杂度会非常不优。

    那么应该怎么办呢?我们思考一下刚开始学OI的时候学到的递归思想来解决这个问题。

    那么现在我们定义一个节点u的差分数组B[u]表示它与它所有儿子的加和的差,那么问题就变得简单多,我们只需要在最后统计答案的时候递归处理即可。

    那么相比很多人有些疑惑,我们应该怎么做修改呢?

    还是那个问题,现在我们要将两个点的最短路径上的点都加k或者减k,暂且设这两个点为uv

    那么我们还需要再定义两个点,uvLCAlca(倍增或塔尖求出),lca的直接父亲为father

    那么我们在更改的时候只需要做如下操作:

      B[u]+=k;

      B[v]+=k;

      B[lca]-=k;

      B[father]-=k;

    那么为什么这么做是正确的呢?

    我们可以认为我们在给u节点的差分数组+k的时候也就相当与将u到根的所有节点都加了k,给v节点的修改同理。

    那么我们需要将多更改的部分减去,多更改的部分也就是lca多更改了一次,从father到跟节点多更改了两次,所以我们在将B[lca]-=k,B[father]-=k同时就相当于是做了这个操作(B[lca]-=k相当与减掉了lca多更改的那一次和father到跟节点多更改的一次,B[father]-=k相当于是剪掉了father到跟节点多更改的剩下的那一次,叠加即为减去了多更改的部分)。

    当所有的操作都完成后只需要DFS递归统计答案即可。


     如果你觉得你已经学会了树上差分,那么可以跳转这道例题:[BZOJ3631]:[JLOI2014]松鼠的新家(LCA+树上差分)


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