[CSP-S模拟测试]:F（DP+线段树）

题目传送门（内部题49）

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输入格式

第一行四个整数$n,q,a,b$。
接下来$n$行每行一个整数$p_i$。

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输出格式

一行一个整数表示答案。

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样例

样例输入：

10 3 3 7

4

2

8

样例输出：

4

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数据范围与提示

对于$30\%$的数据：$n,qleqslant 2,000$
对于所有数据：
$1leqslant n,qleqslant {10}^5$
$1leqslant p_ileqslant n$

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题解

首先，我们考虑$30\%$的算法怎么办？

考虑$DP$，定义$dp[i][j]$表示到了第$i$步，一个指针在$p_i$，另一个指针在$j$的最短步数。

那么我们可以里出状态转移方程：

　　$alpha.dp[i][j]=dp[i-1][j]+|p_i-p_{i-1}|$（上一次和这一次移动的是一个指针）

　　$eta.dp[i][p_{i-1}]=dp[i-1][j]+|p_i-j|$（上一次和这一次移动的不是一个指针）

那么我们接着考虑如何优化。

发现转移$alpha$其实就是将整个区间都加了$|p_i-p_{i-1}|$，而转移$eta$我们可以维护$dp[i][j]+j$和$dp[i][j]-j$的最小值即可。

所以考虑线段树优化，即可得到满分。

时间复杂度：$Theta(nlog n)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
#define L(x) x<<1
#define R(x) x<<1|1
using namespace std;
int n,q,a,b;
int p[100001];
long long tr[4][400001];
void pushup(int x)
{
	tr[0][x]=min(tr[0][L(x)],tr[0][R(x)]);
	tr[1][x]=min(tr[1][L(x)],tr[1][R(x)]);
	tr[2][x]=min(tr[2][L(x)],tr[2][R(x)]);
}
void pushdown(int x)
{
	if(!tr[3][x])return;
	tr[0][L(x)]+=tr[3][x];
	tr[0][R(x)]+=tr[3][x];
	tr[1][L(x)]+=tr[3][x];
	tr[1][R(x)]+=tr[3][x];
	tr[2][L(x)]+=tr[3][x];
	tr[2][R(x)]+=tr[3][x];
	tr[3][L(x)]+=tr[3][x];
	tr[3][R(x)]+=tr[3][x];
	tr[3][x]=0;
}
void build(int x,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		if(l==b)
		{
			tr[0][x]=0;
			tr[1][x]=l;
			tr[2][x]=-l;
		}
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(L(x),l,mid);
	build(R(x),mid+1,r);
	pushup(x);
}
void change(int x,int l,int r,int w,long long k)
{
	if(l==r)
	{
		tr[0][x]=min(tr[0][x],k);
		tr[1][x]=tr[0][x]+l;
		tr[2][x]=tr[0][x]-l;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x);
	if(w<=mid)change(L(x),l,mid,w,k);
	else change(R(x),mid+1,r,w,k);
	pushup(x);
}
long long ask1(int x,int l,int r,int L,int R)
{
	if(R<l||r<L)return 200209230020020923;
	if(L<=l&&r<=R)return tr[2][x];
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x);
	return min(ask1(L(x),l,mid,L,R),ask1(R(x),mid+1,r,L,R));
}
long long ask2(int x,int l,int r,int L,int R)
{
	if(R<l||r<L)return 200209230020020923;
	if(L<=l&&r<=R)return tr[1][x];
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x);
	return min(ask2(L(x),l,mid,L,R),ask2(R(x),mid+1,r,L,R));
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&q,&a,&b);
	memset(tr[0],0x3f,sizeof(tr[0]));
	memset(tr[1],0x3f,sizeof(tr[1]));
	memset(tr[2],0x3f,sizeof(tr[2]));
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%d",&b);
		tr[0][0]=min(ask1(1,1,n,1,b)+b,ask2(1,1,n,b,n)-b);
		tr[0][1]+=abs(a-b);
		tr[1][1]+=abs(a-b);
		tr[2][1]+=abs(a-b);
		tr[3][1]+=abs(a-b);
		change(1,1,n,a,tr[0][0]);
		a=b;
	}
	cout<<tr[0][1]<<endl;
	return 0;
}

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