[CSP-S模拟测试]:Cicada与排序（概率DP）

题目传送门（内部题93）

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输入格式

　　第一行一个整数$n$，代表数列的长度。
　　接下来一行$n$个数$a_i$，用空格分隔开。

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输出格式

　　输出一行$n$个数，表示原数列上这个位置在执行后的期望位置,注意输出的是期望值在$mod 998244353$下的结果。

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数据范围与提示

$nleqslant 500,1leqslant a_ileqslant 10^3$

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题解

考虑$DP$，设$dp[i][j][k]$表示在第$i$层下原来的$j$在现在排名为$k$的概率，发现还是不好转移。

再设$g[i][j]$表示在归并排序过程中两个指针分别指向$i,j$的概率，先求出$g$数组，然后直接转移即可。

证明一下时间复杂度，发现每层实际上就是一个卷积，那么复杂度为$T(n)=n^2+2T(frac{n}{2})$，根据主定理，每层的时间复杂度为$T(n)=n^2$。所以处理单个数的时间复杂度为$Theta(n^2)$，因为要处理每个数，于是时间复杂度为$Theta(n^3)$。

时间复杂度：$Theta(n^3)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int two=499122177;
int n;
int a[501];
long long f[501][501][501],g[501][501],ans;
void merge_sort(int x,int l,int r)
{
	if(l==r){f[x][l][l]=1;return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	merge_sort(x+1,l,mid);
	merge_sort(x+1,mid+1,r);
	memset(g,0,sizeof(g));
	g[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=mid-l+1;i++)
		for(int j=0;j<=r-mid;j++)
		{
			if(i==mid-l+1)g[i][j+1]=(g[i][j+1]+g[i][j])%mod;
			else if(j==r-mid)g[i+1][j]=(g[i+1][j]+g[i][j])%mod;
			else if(a[i+l]<a[j+mid+1])g[i+1][j]=(g[i+1][j]+g[i][j])%mod;
			else if(a[i+l]>a[j+mid+1])g[i][j+1]=(g[i][j+1]+g[i][j])%mod;
			else
			{
				g[i+1][j]=(g[i+1][j]+g[i][j]*two%mod)%mod;
				g[i][j+1]=(g[i][j+1]+g[i][j]*two%mod)%mod;
			}
		}
	for(int i=l;i<=r;i++)
		for(int j=0;j<=mid-l+1;j++)
			for(int k=0;k<=r-mid;k++)
			{
				if(j==mid-l+1&&k==r-mid)continue;
				if(j==mid-l+1)f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][k+mid+1]*g[j][k]%mod)%mod;
				else if(k==r-mid)f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][j+l]*g[j][k]%mod)%mod;
				else if(a[j+l]<a[k+mid+1])f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][j+l]*g[j][k]%mod)%mod;
				else if(a[j+l]>a[k+mid+1])f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][k+mid+1]*g[j][k]%mod)%mod;
				else
				{
					f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][k+mid+1]*g[j][k]%mod*two%mod)%mod;
					f[x][i][j+k+l]=(f[x][i][j+k+l]+f[x+1][i][j+l]*g[j][k]%mod*two%mod)%mod;
				}
			}
	sort(a+l,a+r+1);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	merge_sort(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ans=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			ans=(ans+f[1][i][j]*j)%mod;
		printf("%lld ",ans);
	}
	return 0;
}

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