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  • 素数的若干求解方法

    1)直观判断法

    最直观的方法,根据定义,因为质数除了1和本身之外没有其他约数,所以判断n是否为质数,根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数即可。C++代码如下:

    1. bool isPrime_1( int num )  
    2. {  
    3.     int tmp =num- 1;  
    4.     for(int i= 2;i <=tmp; i++)  
    5.       if(num %i== 0)  
    6.          return 0 ;  
    7.     return 1 ;  
    8. }  

    2)直观判断法改进

    上述判断方法,明显存在效率极低的问题。对于每个数n,其实并不需要从2判断到n-1,我们知道,一个数若可以进行因数分解,那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n),一个大于等于sqrt(n),据此,上述代码中并不需要遍历到n-1,遍历到sqrt(n)即可,因为若sqrt(n)左侧找不到约数,那么右侧也一定找不到约数。C++代码如下:
    1. bool isPrime_2( int num )  
    2. {  
    3.      int tmp =sqrt( num);  
    4.      for(int i= 2;i <=tmp; i++)  
    5.         if(num %i== 0)  
    6.           return 0 ;  
    7.      return 1 ;  
    8. }  

    3)另一种方法

    方法(2)应该是最常见的判断算法了,时间复杂度O(sqrt(n)),速度上比方法(1)的O(n)快得多。最近在网上偶然看到另一种更高效的方法,暂且称为方法(3)吧,由于找不到原始的出处,这里就不贴出链接了,如果有原创者看到,烦请联系我,必定补上版权引用。下面讲一下这种更快速的判断方法;
    首先看一个关于质数分布的规律:大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7,11和13,17和19等等;

    证明:令x≥1,将大于等于5的自然数表示如下:
    ······ 6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1 ······
    可以看到,不在6的倍数两侧,即6x两侧的数为6x+2,6x+3,6x+4,由于2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),所以它们一定不是素数,再除去6x本身,显然,素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里有个题外话,关于孪生素数,有兴趣的道友可以再另行了解一下,由于与我们主题无关,暂且跳过。这里要注意的一点是,在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。
    根据以上规律,判断质数可以6个为单元快进,即将方法(2)循环中i++步长加大为6,加快判断速度,代码如下:
    1. bool isPrime_3( int num )  
    2. {  
    3.                  //两个较小数另外处理  
    4.                  if(num ==2|| num==3 )  
    5.                                  return 1 ;  
    6.                  //不在6的倍数两侧的一定不是质数  
    7.                  if(num %6!= 1&&num %6!= 5)  
    8.                                  return 0 ;  
    9.                  int tmp =sqrt( num);  
    10.                  //在6的倍数两侧的也可能不是质数  
    11.                  for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )  
    12.                                  if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )  
    13.                                                  return 0 ;  
    14.                  //排除所有,剩余的是质数  
    15.                  return 1 ;  
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wzf-Learning/p/8109364.html
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