51nod算法马拉松13

A 取余最长路

不难发现路径可以拆成三条线段，只要知道两个转折点的位置就能计算出答案。

设sum(i,l,r)表示第i行从l到r元素的和，则答案可以表示为sum(1,1,x)+sum(2,x,y)+sum(3,y,n)%p。

前缀和一下转化成(S3[n]-S3[y-1])+S2[y]+(S1[x]-S2[x-1])%p，从小到大枚举y，将所有(S1[x]-S2[x-1])扔到一个集合里，用个set就能轻松实现了。

时间复杂度为O(NlogN)。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<set>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
ll S1[maxn],S2[maxn],S3[maxn],ans;
set<ll> S;
set<ll>::iterator it;
int main() {
	int n=read(),p=read();
	rep(i,1,n) S1[i]=(S1[i-1]+read())%p;
	rep(i,1,n) S2[i]=(S2[i-1]+read())%p;
	rep(i,1,n) S3[i]=read();
	dwn(i,n,1) S3[i]+=S3[i+1];
	rep(i,1,n) {
		ll val;val=(S1[i]-S2[i-1]+p)%p;
		S.insert(val);val=(S3[i]+S2[i])%p;
		it=S.lower_bound(p-val);
		if(it==S.begin()) ans=max(ans,(val+(*(--S.end())))%p);
		else ans=max(ans,(val+(*(--it)))%p);
	}
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

B 树有几多愁

不难发现这样几个性质：

1.节点的编号肯定是按深度递减的。（可以用相邻交换法证明）

2.如果知道了叶节点大小的相对顺序就能唯一还原出整棵树的编号。（由性质1不难推出）

那么我们设f[S]表示将S集合的叶节点都标上号后的答案，因为乘积会很大，所以我们取对数记录一下方案，最后再乘回去就行了。

然后为了方便转移随便dfs算算每种状态标了多少号就行了，时间复杂度为O（2^c*c+c*n）。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
int n,first[maxn],in[maxn],next[maxn<<1],to[maxn<<1],e;
void AddEdge(int u,int v) {
	in[v]++;to[++e]=v;next[e]=first[u];first[u]=e;
	in[u]++;to[++e]=u;next[e]=first[v];first[v]=e;
}
int val[maxn],A[maxn],fa[maxn],pa[maxn],m,dep[maxn];
int S[maxn],vis[maxn],top;
void dfs(int x) {
	S[++top]=x;
	while(top) {
		x=S[top];
		if(!vis[x]) {
			int tp=pa[x];vis[x]=1;
			dep[x]=dep[fa[x]]+1;if(!fa[x]||in[x]!=2) tp=x;
			ren if(to[i]!=fa[x]) fa[to[i]]=x,pa[to[i]]=tp,S[++top]=to[i];
		}
		else {
			ren if(to[i]!=fa[x]) val[x]|=val[to[i]];
			if(in[x]==1&&fa[x]) A[m++]=x,val[x]=1<<m-1;
			top--;
		}
	}	
}
int g[1<<20],p[1<<20];
const int mod=1000000007;
int calc(int x,int S) {
	int res=dep[x];
	while(x&&((S&val[x])==val[x])) x=pa[x];
	return res-dep[x];
}
double f[1<<20];
int num[maxn];
void solve(int S) {
	if(!S) return;
	solve(S^(1<<p[S]));
	num[A[p[S]]]=g[S^(1<<p[S])]+1;
}
int main() {
	n=read();
	rep(i,2,n) AddEdge(read(),read());
	dfs(1);
	rep(S,1,(1<<m)-1) {
		rep(i,0,m-1) if(S>>i&1) {
			g[S]=g[S^(1<<i)]+calc(A[i],S);
			break;
		}
	}
	rep(S,1,(1<<m)-1) {
		f[S]=-1e50;
		rep(i,0,m-1) if(S>>i&1) {
			double res=f[S^(1<<i)]+log2(g[S^(1<<i)]+1);
			if(res>f[S]) f[S]=res,p[S]=i;
		}
	}
	solve((1<<m)-1);
	ll ans=1;
	rep(i,0,m-1) (ans*=num[A[i]])%=mod;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

C 比大小

首先解方程得到B[0]=-1，然后打一下表相信你就能发现规律（提示：按mod4分类）

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
typedef long long ll;
inline ll read() {
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
struct Matrix {
	int A[2][2];
	Matrix operator * (Matrix& b) {
		Matrix c;
		rep(i,0,1) rep(j,0,1) {
			c.A[i][j]=0;
			rep(k,0,1) c.A[i][j]+=A[i][k]*b.A[k][j];
			c.A[i][j]%=4;
		}
		return c;
	}
	void print() {
		rep(i,0,1) rep(j,0,1) printf("%d%c",A[i][j],j==1?'
':' ');
	}
};
void pow(Matrix& ans,ll n) {
	Matrix A;A=ans;
	ans.A[0][0]=1;ans.A[0][1]=0;
	ans.A[1][0]=0;ans.A[1][1]=1;
	while(n) {
		if(n&1) ans=ans*A;
		A=A*A;n>>=1;
	}
}
void solve() {
	ll A0=read(),a=read(),b=read(),n=read();
	Matrix T,ans;
	T.A[0][0]=a%4;T.A[0][1]=b%4;
	T.A[1][0]=0;T.A[1][1]=1;
	ans.A[0][0]=A0%4;ans.A[0][1]=0;
	ans.A[1][0]=1;ans.A[1][1]=0;
	pow(T,n);ans=T*ans;
	if(ans.A[0][0]==1) puts("=");
	else if(ans.A[0][0]%2==0) puts("<");
	else puts(">");
}
int main() {
	dwn(T,read(),1) solve();
	return 0;
}

D 有限背包计数问题

我们先考虑一种暴力的DP做法：设f[i][j]表示用前i个物品装满容量为j的背包的方案数，然后做个多重背包就行了，时间复杂度O（N^2）。

我们再来考虑一种暴力的DP做法：设f[i][j]表示用i个物品（不考虑个数限制）装满容量为j的背包的方案数，考虑这i个物品中最小的物品，如果它是1，则f[i][j]+=f[i-1][j-1]，否则说明这i个物品均大于1，f[i][j]+=f[i][j-i]。

然后我们发现对于<=sqrt(N)的物品，用第一种做法就行了，对于>sqrt(N)的物品，肯定不会使用超过sqrt(N)个，而且每个物品肯定够用，用第二种做法就行了。

最后滚动一下数组把答案合并起来就行了，时间复杂度为O(Nsqrt(N))。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int maxn=100010;
const int mod=23333333;
typedef long long ll;
int n;
int f[2][maxn],g[2][maxn],g2[maxn],sum[maxn];
int main() {
	n=read();int SIZE=(int)sqrt(n);
	if(n==1) puts("1");
	else if(n==2) puts("1");
	else if(n==3) puts("2");
	else if(n==4) puts("3");
	else {
		int cur=0;f[0][0]=1;
		rep(i,1,SIZE) {
			cur^=1;
			rep(j,0,i-1) {
				for(int k=j;k<=n;k+=i) sum[k]=((k<i?0:sum[k-i])+f[cur^1][k])%mod;
				for(int k=j;k<=n;k+=i) {
					f[cur][k]=(sum[k]-(k<i*(i+1)?0:sum[k-i*(i+1)])+mod)%mod;
				}
			}
		}
		ll ans=0;int cr=0;
		g[0][0]=g2[0]=1;
		rep(i,1,SIZE) {
			cr^=1;memset(g[cr],0,sizeof(g[cr]));
			if(i>1) rep(j,SIZE+1,n) g[cr][j]=(g[cr][j-i]+g[cr^1][j-SIZE-1])%mod;
			else rep(j,SIZE+1,n) g[cr][j]=1;
			rep(j,SIZE+1,n) (g2[j]+=g[cr][j])%=mod;
		}
		rep(A,0,n) (ans+=(ll)g2[A]*f[cur][n-A])%=mod;
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}

E B君的骗局

我们可以设f[x][S]表示当前在x节点，已走过状态为S，期望再走几步才能结束整个过程。

直接暴力消元肯定是不行的，但我们按S分一下层，做512次消元再压一下常数就行了。

时间复杂度为O（2^c*N^3）。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int maxn=55;
const double eps=1e-12;
typedef double Matrix[maxn][maxn];
const int maxm=550;
int n,m,s,x[9],e[maxn][maxn];
void gauss(Matrix& A) {
	rep(i,0,n-1) {
		int r=i;
		rep(j,i+1,n-1) if(fabs(A[j][i])>fabs(A[r][i])) r=j;
		if(fabs(A[r][i])<eps) continue;
		if(r!=i) rep(j,0,n) swap(A[i][j],A[r][j]);
		rep(k,0,n-1) if(k!=i)
			dwn(j,n,i) A[k][j]-=A[k][i]/A[i][i]*A[i][j];
	}
}
double f[maxn][maxm];
int check(int S) {
	int c1=0,c2=0,c3=0,c=0;
	if(S&1) c1++;if(S&2) c1++;if(S&4) c1++;
	if(S&8) c2++;if(S&16) c2++;if(S&32) c2++;
	if(S&64) c3++;if(S&128) c3++;if(S&256) c3++;
	if(c1>=2) c++;if(c2>=2) c++;if(c3>=2) c++;
	return c>=2;
}
Matrix A;
int main() {
	n=read();m=read();
	rep(i,1,m) {
		int u=read(),v=read();
		e[u][v]=e[v][u]=1;
	}
	rep(i,0,8) x[i]=read();s=read();
	dwn(S,511,0) {
		if(!check(S)) {
			rep(i,0,n) rep(j,0,n) A[i][j]=0;
			rep(i,0,n-1) {
				int j=0;
				rep(k,0,8) if(x[k]==i) j|=(1<<k);
				if(j&&(!(S&j))) {A[i][i]=1;A[i][n]=f[i][S|j];continue;}
				A[i][i]=1;A[i][n]=1;int cnt=0;
				rep(v,0,n-1) if(e[i][v]) cnt++;
				rep(v,0,n-1) if(e[i][v]) A[i][v]=-1.0/cnt;
			}
			gauss(A);
			rep(i,0,n-1) if(fabs(A[i][i])>eps) f[i][S]=A[i][n]/A[i][i];
		}
	}
	printf("%.6lf
",f[s][0]);
	return 0;
}