[SCOI2010]股票交易（单调队列优化dp）

题目

Description

最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有（APi>=BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。 另外，股票交易所还制定了两个规定。

为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。

在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

 对于 

$30\%$ 的数据，$0\le W<T\le 50,1\le \text{MaxP}\le 50$

对于 $50\%$ 的数据，$0\le W<T\le 2000,1\le \text{MaxP}\le 50$

对于 $100\%$ 的数据，$0\le W<T\le 2000,1\le \text{MaxP}\le 2000$

对于所有的数据，$1\le B{P}^i\le A{P}^i\le 1000,1\le A{S}^i,B{S}^i\le \text{MaxP}$

Input

输入数据第一行包括3个整数，分别是T，MaxP，W。 接下来T行，第i行代表第i-1天的股票走势，每行4个整数，分别表示APi，BPi，ASi，BSi。

Output

输出数据为一行，包括1个数字，表示lxhgww能赚到的最多的钱数。

Sample Input

5 2 0

2 1 1 1

2 1 1 1

3 2 1 1

4 3 1 1

5 4 1 1

Sample Output

3

---

思路

这是一道dp题；

我们设dp[i][j] 表示第 i 天 lxhgww手中拥有 j 个股票，能产生的最大money；

那么

dp初始化是

    memset(dp,-127/3,sizeof(dp));
    for(re ll j=0;j<=As[i];j++)
        dp[i][j]=-1*j*Ap[i];//第 i 天把 j 个股票全买光

转移方程是

$dp[i][j]=dp[i-1][j];$                                             

第 i 天啥也没做，money还是那么多；

$dp[i][j]=max(dp[i-w-1][k]-(j-k)*Ap[i]);$               

第 i 天买了些股票，money变少了 =_=

$dp[i][j]=max(dp[i-w-1][k]+(k-j)*Bp[i]);$               

第 i 天卖了些股票，money回来了￥_￥!!!

很显然在第二个转移方程里$ j-k 必须 < As[i]$     当天买的股票数不能超过题目中的限制；

很显然在第三个转移方程里$ k-j 必须 < Bs[i]$     当天卖的股票数不能超过题目中的限制；

但是我们发现，这一题如果直接dp写的话，会超时！！

那么就需要单调队列来优化；

观察两个dp 方程：

dp[i][j]=max(dp[i-w-1][k]-(j-k)*Ap[i]);

dp[i][j]=max(dp[i-w-1][k]+(k-j)*Bp[i]);

我们可以转化一下；

dp[i][j]=max(dp[i-w-1][k]+k*Ap[i]   -j*Ap[i]);

dp[i][j]=max(dp[i-w-1][k]+k*Bp[i]   -j*Bp[i]);

这样就可以把方程分成两部分；

我们发现划横线的部分只与  k 有关；

这样我们希望money最大，那么画线的部分就要最大；

这样我们就可以把 k 存到一个单调队列里；

找出最大的 $dp[i-w-1][k]+k*Ap[i];$ 就可以了；

然后什么时候踢队头呢；

在前面列出的dp方程中，我们标记了范围；

第二个转移方程里 $j-k 必须 < As[i]$ 

第三个转移方程里 $k-j 必须 < Bs[i] $

所以

1
while(head<=tail&&j-q[head]>As[i])
    head++;

2
while(head<=tail&&q[head]-j>Bs[i])
    head++;

这样就ok了

渣渣代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
typedef long long ll;
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}//无处不在的快读
ll n,m,w;
ll q[10010],dp[2010][2010];
ll Ap[2010],Bp[2010],As[2010],Bs[2010];
int main()
{
    memset(dp,-127/3,sizeof(dp));
    n=read(); m=read(); w=read();
    for(re ll i=1;i<=n;i++)
    {
        Ap[i]=read(); Bp[i]=read();
        As[i]=read(); Bs[i]=read();//读入
    }
    for(re ll i=1;i<=n;i++)
    {
        for(re ll j=0;j<=As[i];j++)//注意j <=As[i];
            dp[i][j]=-1*j*Ap[i];//初始化 第 i 天把 j 个股票全买光
        for(re ll j=0;j<=m;j++)
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);//第 i 天啥也没做，money还是那么多；
        if(i-w-1<=0)//注意一定要加，判下标负数
            continue;
        ll head=1,tail=0;
        for(re ll j=0;j<=m;j++)
        {
            while(head<=tail&&j-q[head]>As[i])// j-k 必须 < As[i] 
                head++;//踢队头
            if(head<=tail)
            {
                ll k=q[head];
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][k]-(j-k)*Ap[i]);//dp 转移方程
            }
            while(head<=tail&&dp[i-w-1][q[tail]]+q[tail]*Ap[i]<dp[i-w-1][j]+j*Ap[i])//找一个最大值
                tail--;
            q[++tail]=j;//入队
        }
        head=1,tail=0;
        for(re ll j=m;j>=0;j--)//我们需要 q[head](k) > j 所以先入队 大的j ，这样就可以满足q[head](k) > j 
        {
            while(head<=tail&&q[head]-j>Bs[i])// k-j 必须 < Bs[i] 
                head++;//踢队头
            if(head<=tail)
            {
                ll k=q[head];
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][k]+(k-j)*Bp[i]);//dp 转移方程
            }
            while(head<=tail&&dp[i-w-1][q[tail]]+q[tail]*Bp[i]<dp[i-w-1][j]+j*Bp[i])//找一个最大值
                tail--;
            q[++tail]=j;//入队
        }
    }
    ll ans=1>>30;//方便的右移符号
    for(re ll i=0;i<=m;i++)
        ans=max(ans,dp[n][i]);//统计ans
    printf("%lld
",ans);//输出
    return 0;//不要忘了return 0；^_^
}
//然后AC