狄利克雷卷积

（之前本想在莫比乌斯反演的时候一起写了，但发现这东西性质还挺多，便再开一篇……
狄利克雷卷积是莫比乌斯反演和杜教筛的理论基础。

几个函数

1. 常数函数：(1(n)=1)
2. 单位函数：(epsilon(n)=[n=1])
3. （约数个数）( au(n)=sumlimits_{d|n}1)
4. （约数之和）(sigma(n)=sumlimits_{d|n}d)
5. （素因子个数）(omega(n)=sumlimits_{p|n}1)
6. (id(n)=n)

定义

定义两个数论函数(f(n))与(g(n))的 狄利克雷(Dirichlet)卷积 为$$(f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})$$此运算满足交换律、结合律、分配律，逆元。
并规定(epsilon)为狄利克雷卷积单位元（任何函数与其卷积函数不变)。

函数之间的卷积关系

(1*mu=epsilon)
(phi * 1=id)
(phi = id * mu)（这个非常重要！）
( au = 1 * 1qquad 1 = mu * au)

推论

两个积性函数(f(n),g(m))的狄利克雷卷积(t(mn))仍为积性函数。
证明：

[egin{aligned} t(nm)&=sum_{dmid nm} f(d)gleft(frac{nm}d ight)\&=sum_{amid n,bmid m} f(ab) gleft(frac{nm}{ab} ight)\&=sum_{amid n,bmid m} f(a) f(b) gleft(frac na ight) gleft(frac mb ight)\&=left(sum_{amid n} f(a) gleft(frac na ight) ight)left(sum_{bmid m}f(b) gleft(frac mb ight) ight)\&= f(n) g(m)end{aligned} ]

QED。