P4783 【模板】矩阵求逆

原题链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4783

一道模板题，更重要的省选难度.....

题目要求的是一个n*n的逆矩阵，还要对大数取膜。

普通高中生：这…………

来一步一步分析：

（1）怎么求逆矩阵？

首先，我们要开一个二维数组，范围是a[401][801]；

why？这就和求逆矩阵有关啦。

先输入n*n的矩阵，紧接着在右边罗一个n*n的单位矩阵

然后我们对左半边的矩阵进行高斯消元消成了单位矩阵，则此时右半边的单位矩阵就被消成了左半边原矩阵的逆矩阵

    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
       {
       for(int j=1;j<=n;j++)
       scanf("%lld",&a[i][j]);      
       a[i][i+n]=1;         //在输入矩阵的同时在右边罗列一个n*n的单位矩阵 
       }

接着就要对左半边的矩阵进行高斯消元，怎么高斯消元呢？其实就是把高斯消元的板子套上去啊。P3389

这是模板高斯消元的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,pl;
double a[1001][1001];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=1;j<=n+1;j++)
       cin>>a[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        pl=i;
        while(a[pl][i]==0&&pl<=n) 
        {pl++;}                                      // 判断第i列首元素非0的最上行，因为第i行第i列元素不能为0 
        if(pl==n+1) {cout<<"No Solution";return 0;}    //一直判到了n+1行，可是一共才只有n行，说明有一列全为0，无解 
        for(int j=1;j<=n+1;j++)             //将第i行第i列元素不为0的那一行与当前行交换 
        swap(a[i][j],a[pl][j]);
        double k=a[i][i];                          //让第i行每个元素都除以a[i][i]使得a[i][i]为1 
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        a[i][j]=a[i][j]/k;                         //将第i行第i列的元素消成1,注意同行进行同样的操作 
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i!=j)                        //将第i列除了第i行的元素全消成0 
            {                               //方法是第j行每个元素a[j][m]都减去a[j][1]*a[i][m] 
                double ki=a[j][i];
                for(int m=1;m<=n+1;m++)
                a[j][m]=a[j][m]-ki*a[i][m];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    printf("%.2lf
",a[i][n+1]);
    return 0;
}

（2）怎么对有理数取膜？

这也是道模板题…………P2613

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const long long mod=19260817;
inline long long read()
{
    long long t=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        t=(t*10+(ch-'0'))%mod;
        ch=getchar();
    }
    return t;
}
int exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    long long r=exgcd(b,a%b,x,y);
    long long q=x;
    x=y;
    y=q-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    long long a,b,x,y;
    a=read();
    b=read();
    if(b==0)
    {
        cout<<"Angry!";
        return 0;
    }
    exgcd(b,mod,x,y);
    x=(x%mod+mod)%mod;
    printf("%lld",(a%mod*x%mod)%mod);
    return 0;
}

证明过程：

1.费马小定理

如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。

此题已经明确给出mod数19260817，显然它是一个质数，那么我们就可以用费马小定理转化一下，如下：

因为a^（p-1）≡1（mod p）

所以a^（p-2）≡a^（-1） （mod p）    (A)

所以c=a/b=a*b^（-1）≡a*b^（p-2） （mod p）

证毕！

所以我们就可以将在膜p意义下的a/b转化成a*b^（p-2）的形式，所以我们只要求出b^（p-2）就大功告成啦，具体做法用快速幂。

2.扩展欧几里德

上面已经证过求在膜p意义下的a/b就是求a*b^（-1），b^（-1）就是b的逆元

下面给出求b的逆元的一种方法：

若存在一个数x，满足bx≡1 （mod p），那么x就是b的逆元

可将bx≡1 （mod p）进一步转化：

bx-1≡0 （mod p）

bx-1=-yp    （注：这里说一下为什么是-y，其实这里是不是正负无所谓，写成负的更便于理解）

bx+py=1

二者一结合，就是此题的代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<math.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
long long n,a[501][1001];
long long x,y;
inline int read()
{
    int t=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'||ch<='9')
    {
        t=t*10+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
}
int inv(long long a,long long b)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
       {
       for(int j=1;j<=n;j++)
       scanf("%lld",&a[i][j]);      
       a[i][i+n]=1;         //在输入矩阵的同时在右边罗列一个n*n的单位矩阵 
       }
    for(int i=1;i<=n;i++)       //进行高斯消元 
    {
        for(int j=i;j<=n;j++)
        {
            if(a[j][i])
            {
                for(int q=1;q<=2*n;q++)
                swap(a[j][q],a[i][q]);
                break;
            }
        }
        if(!a[i][i])             //判无解 
        {
            cout<<"No Solution";return 0;
        }
        long long k=inv(a[i][i],mod-2)%mod;      //利用费马小定理来求逆元 
        for(int j=1;j<=2*n;j++)  a[i][j]=a[i][j]*k%mod;     //利用矩阵性质将a[i][i]消成1，注意同样对右半边的单位矩阵操作 
        for(int j=1;j<=n;j++)                   //将第i列的其他行消成0 
        {
            if(j!=i)
            {
                long long k=a[j][i];
                for(int m=i;m<=2*n;m++)           //注意同时对右半边的单位矩阵进行操作 
                {
                a[j][m]=a[j][m]-k*a[i][m];
                a[j][m]=(a[j][m]%mod+mod)%mod;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
       {
           for(int j=1+n;j<=2*n;j++)                 //输出右半边的矩阵就是逆矩阵啦 
           cout<<a[i][j]<<" ";
           cout<<endl;
       }
    return 0;                                     //完结撒花 
}

话说真的这道题就是两个模板题的结合qwq～