原题链接 https://www.luogu.com.cn/problem/P2725
题目大意
给你 $m$ 个数，你可以从中任选不超过 $n$ 个数（每个数可以重复选择），求最大的 $k$ 使得 $1$~$k$ 内的所有数都能被表示；
题解
$70pts$：
既然让求每个数能否被表示，那么我们可以顺着它的思路来设状态：
$dp [ i ][ k ]$：用 $j$ 个数能否表达 $k$；
考虑怎么转移：
我们枚举所有的数 $a [ j ]$，如果说 $i - a [ j ]$ 能用 $k-1$ 个数来表达，那么我们再加上 $a [ j ]$ 这个数就实现了用 $k$ 个数表达 i；
给出状态转移方程的代码：
for(int i=1;i<=n*maxn;i++) //maxn是最大面值再+1 { for(int j=1;j<=m;j++) { if(i-a[j]<0) continue; for(int k=1;k<=n;k++) { dp[i][k]|=dp[i-a[j]][k-1]; } } }
考虑到空间复杂度 $O ( nm *$ 最大面值 $)$，会 $MLE$ 的；
我们可以考虑滚动数组优化！
我们看这个状态转移方程，可以发现更新 $i$ 的时候只会用到 $i - a [ j ]$ 的数据，而 $a [ j ]$ 最大为 $10000$，所以我们可以将第一维降到 $10000$；
注意要随时清空之前的信息；
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int read() { char ch=getchar(); int a=0,x=1; while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') x=-x; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { a=(a<<1)+(a<<3)+(ch-'0'); ch=getchar(); } return a*x; } const int N=205; int n,m,maxn; int a[N]; bool dp[10005][55]; //dp[i][j]:能否用j张邮票表示i int main() { n=read();m=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { a[i]=read(); maxn=max(maxn,a[i]); //求最大面值 } dp[0][0]=1; maxn++; //这里maxn要再+1,不然i与i-maxn不会同时出现的 for(int i=1;i<=n*maxn;i++) { int can=0; //这个数能否被表示 for(int k=0;k<=n;k++) //清空原有的信息 dp[i%maxn][k]=0; for(int j=1;j<=m;j++) //枚举每个数 { if(i-a[j]<0) continue; for(int k=1;k<=n;k++)//枚举用多少个数表示i { dp[i%maxn][k]|=dp[(i-a[j])%maxn][k-1]; //状态转移方程 can|=dp[i%maxn][k]; } } if(can==0) //如果当前数不能被表示,输出前一个数并结束程序 { printf("%d ",i-1); return 0; } } return 0; }
$100pts$：
这 $100pts$ 的做法就有点巧妙了。
一个显然贪心策略：
用尽量少的数来表示 $i$ 更优。
举个例子：
假如我们可以用 $3$ 个数，有 $2$ 种不同的面值：$1$，$2$；
对于 $3$，我们可以将其表示为：$3 = 1 + 1 + 1$，这样的表示方法用了 $3$ 个数；
但我们还可以这么表示：$3 = 2 + 1$，这样的表示方法只用了 $2$ 个数；
如果我们采用第一种表示方法的话，我们再继续表示 $4$ 的话就要用到 $4$ 个数了，是不合法的；
而如果我们采用第二种表示方法的话，我们可以合法的表示了：$4 = 2 + 1 + 1$；
甚至有一个更优解：$4 = 2 + 2$；
所以说，用越少的数来表示一个数，就会留出更多的空间来表示后面的数；
那么，我们就无需去记录那些用很多数来表示的情况，只记录每个数最少能用几个数表示就好了；
状态设置
$dp [ i ]$：$i$ 最少能用几个数表示；
状态转移
和上面的思路一样，只不过数组维护的东西改了而已；
dp[i]=min(dp[i],dp[i-a[j]]+1);
答案输出
如果一个数 $i$，最少表示 $i$ 的数超过了 $n$ 个，那么就说明 $i$ 这个数无法被表示，我们输出 $i-1$ 并结束程序；
那么，这个题就被我们转化成了完全背包问题；
$Code$：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; int read() { char ch=getchar(); int a=0,x=1; while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') x=-x; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { a=(a<<1)+(a<<3)+(ch-'0'); ch=getchar(); } return a*x; } const int N=205; int n,m; int a[N]; int dp[2000005]; //dp[i]:最少能用多少个数来表示i int main() { n=read();m=read(); for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=read(); memset(dp,0x3f,sizeof(dp)); //初始化 dp[0]=0; //边界条件 for(int i=1;i<=n*10000;i++) //枚举的最大范围 { for(int j=1;j<=m;j++) if(i-a[j]>=0) dp[i]=min(dp[i],dp[i-a[j]]+1); //状态转移方程 if(dp[i]>n) //i这个数无法被表示 { printf("%d ",i-1); return 0; } } return 0; }