hihoCoder hiho一下 第一周 #1032 : 最长回文子串 (Manacher)

题意：给一个字符串，求最长回文子串的长度。

思路：

（1）暴力穷举。O(n^3)　-----绝对不行。

　　　　穷举所有可能的出现子串O(n^2)，再判断是否回文O(n)。就是O(n*n*n)了。

（2）记录位置。O(n^3)　-----绝对不行。

　　　　先扫一遍，记录每个字符在上一次出现的位置pos。每次考虑第i个字符，如果回文子串包括 i 的话，那么肯定在i的前面有一个跟第i个字符是一样的，利用之前记录的位置pos[i]可以找到与第i个相同的字符，如果i-pos[i]比之前发现的最长的子串max还短，那么不用比较了。如果更前面还有和第i个字符一样的，那么可以找到第pos[pos[i]]个，一定要找到区间比max还大的，才有比较的意义，除非前面已经没有相同字符的了。那么略过第i个，直奔下一个。记录位置需要O(n)，考虑每个字符需要O(n)，对其前面出现过的每个字符考虑O(n)，一旦考虑就需要比较是否回文O(n)，总的来说，后面3个是乘的关系O(n^3)。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N=1000010;

char str[N];
char has[256];
char pos[N];


bool isP(int j,int i)
{
    while( j!=i && j!=--i)
    {
        if( str[j]!=str[i] )
            return false;
        j++;
    }
    return true;
}

int fin_ex(int max, int i)
{
    int j=pos[i];
    while( i-j<=max && j>-1 )      //找到一个区间范围大于max的，开始算
        j=pos[j];
    return j;
}

int cal(int len)
{
    int max=1, j;
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        j=fin_ex(max, i);      //找相同的，且大于max的
        while( j!=-1 && i-j>max )    //有相同
        {
            if(isP(j,i+1)==true)
                max=i-j+1;
            else
                j=fin_ex(max, j); //不是回文，继续找
        }
    }
    return max;
}


int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    int t;
    cin>>t;
    getchar();
    while(t--)
    {
        gets(str);
        int len=strlen(str);
        for(int i=0; i<256; i++)    has[i]=-1;      //初始化
        for(int i=0; i<len; i++)                    //记录上一次出现的位置
        {
            pos[i]=has[str[i]];
            has[str[i]]=i;
        }

        cout<<cal(len)<<endl;
    }
    return 0;
}

（3）动态规划。时间O(n^2)，空间O(n^2)----这空间已经不行了。

　　　　不考虑了，这空间接受不了。

（4）中心扩展。时间O（n^2），空间O（0）。-----这时间已经不行了。

　　　　　　扫一遍每个字符需要O（n），对每个字符进行回文判断需要O（n）。总的就O（n^2）。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N=1000010;
int len;
char str[N];

int isP(int i)      //以i为中点的最长回文串的长度
{
    int max1=1;
    //奇数
    int tmp=max(i,len-i-1);

    for(int j=1; j<=tmp; j++)
    {
        if( str[i-j]==str[i+j] )
            max1+=2;
        else
            break;
    }

    //偶数
    int max2=0;
    tmp =max(i+1, len-i-1);
    for(int j=0; j<tmp; j++)
    {
        if( str[i-j]==str[i+j+1] )
            max2+=2;
        else
            break;
    }
    return max1>max2? max1:max2;
}

int cal()
{
    int max=1, tmp;
    for(int i=1; i<len-1; i++)        //考虑以i为中心的回文串
    {
        if( (tmp=isP(i))>max )
            max=tmp;
    }
    return max;

}

int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%s",str);
        len=strlen(str);
        if(len==1){cout<<"1"<<endl;continue;}
        cout<<cal()<<endl;
    }
    return 0;
}

（5）Manacher算法。时间O（n），空间O（n）。------完全OK！

　　　　主要目的就是要减少计算量，在”中心扩展“法的基础上，节省更多的计算量。下面介绍这种处理方法。

步骤：

　　1）首先要插入一些奇怪的字符。作用是，使得每种可能出现的子串的长度变成永远是奇数。如 abba 变成 #a#b#b#a#。假设串长为n，那么其实是加入了n+1个#号，使得串长总是2*n+1，这样就必定是奇数了。而且在用”中心扩展“法时仍然是奇数，考虑奇数子串#b#，偶数子串b#b，如果中间是#号，那么计算的就是偶数的子串了。置s[0]=‘￥’，随便一个特殊的字符，可以省去计算时的判断的左边界，比对到这个￥特殊符号，肯定没有任何一个是跟他匹配的，最长匹配过程自动就被终止了。而右边界有''，自然也没有任何符号会跟他匹配。

　　2）接着需要记录下每个字符的关于最长子串的一些“信息”，不是长度，而是一个可以计算出长度的数字，其实是（纯长度+1），为什么要这么做？这其实是个边界。即下面提到的mx，在i到mx之间的字符都可以节省一些计算量。

　　（mx的对称点，id）和（id，mx）是对称的，即是回文的。能使得mx越靠右的字符位置就作为id，所以得及时凭借mx大小来更新id和mx。在（id，mx）中任意一个位置i都会和id左边对称的位置j有着一样的字符，那么以 i为中心的最小回文就跟以 j为中心的最大回文有关了，这也是减少计算量的突破口。假设用P[i]记录以位置i为中心的最长回文串的长度信息的话，有下面两种情况：

　　（1）以j为中心的最长回文串是（mx的对称点，id）里面的某一部分，则j-P[j]不会超过左边”mx的对称点“ 。那么这在P[id]管辖的范围内，有左右对称的原理，所以P[i]至少为P[j]吧，但是可能会更大，因为左边的是比较过的才求出P[j]，这P[i]还没比较过，所以长度可以从P[j]开始比对了。这样就节省了这P[j]次比较了。

　　（2）P[j]超过了左边”mx的对称点“ 。超过了id的管辖范围了，多出的部分保证不了左右对称的原理了，但是在id管辖范围内的肯定是符合对称原理的，那么至少也可以减少一些计算量呐，减多少呢？就是”id管辖范围内“那个P[j]的长度了，做一些计算就可以得到这个长度是多少，但是肯定是小于P[j]的。

注：那如果i逐渐扫到mx之外了怎么办，i肯定找不到再关于id对称的j了。那就老老实实比较吧，继续用中心扩展。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int N=1000010;
int len;            //原串长
char str[N];        //接收原来的串
char s[N*2];        //做了插入处理的结果串
int P[N*2];         //保存关于长度的信息（回文长度的一半再加1）
int cal()
{
    int id=1, mx=1, max1=1;
    P[0]=1;
    P[1]=1;
    for(int i=2; s[i]!=''; i++)        //考虑以i为中心的回文串
    {
        P[i] =i>mx? 1: min( P[2*id-i],mx-i);
        while(s[i+P[i]]==s[i-P[i]])     //在这比对
            P[i]++;
        if(i+P[i]>mx)       //更新id和mx的位置
        {
            id=i;
            mx=i+P[i];
        }
        if(P[i]-1>max1)     //更新最大值
            max1=P[i]-1;
    }
    return max1;
}

int main()
{
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%s",str);
        len=strlen(str);
        memset(s,0,sizeof(s));
        memset(P,0,sizeof(P));

        //插入符号#
        s[0]='$';
        s[1]='#';
        int i=0, j=2;
        for(; i<len; i++)
        {
            s[j++]=str[i];
            s[j++]='#';
        }
        cout<<cal()<<endl;
    }
    return 0;
}

用String实现了一发：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x7f7f7f7f
#define pii pair<int,int>
#define LL unsigned long long
using namespace std;
const int N=20100;

int Manacher(string &str, int len)
{
    //插上辅助字符#
    string tmp(len*2+2,'#');
    tmp[0]='$';
    for(int i=0; i<str.size(); i++)    tmp[i*2+2]=str[i];

    int ans=1;
    int mx=1, id=1;
    vector<int> P(2*len+2,0);

    for(int i=2; i<tmp.size(); i++)
    {
        P[i]=( i>=mx? 1: min( P[2*id-i], mx-i ));
        while( tmp[i-P[i]]==tmp[i+P[i]] )    P[i]++;    //匹配了就继续扩大P[i]

        if(mx<=i+P[i])//重要：更新位置
        {
            mx=i+P[i];
            id=i;
        }
        ans=max(ans, P[i]-1); //这就是长度了，不信动手画。
    }
    return ans;
}

int main()
{
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    int t;
    string str;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>str;
        cout<<Manacher(str, str.size())<<endl;;
    }
    return 0;
}