[BZOJ2734][HNOI2012]集合选数
试题描述
《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就交给你了。
输入
只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。
输出
仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。
输入示例
4
输出示例
8
数据规模及约定
见“试题描述”
题解
构造 + 状压 dp。
我们可以构造出这样一个矩阵：
1 3 9 27 81 ...
2 6 18 54 162 ...
4 12 36 108 324 ...
... ... ... ... ...
即，每个元素 x 的上方是 x / 2，下方是 2x，左边是 x / 3，右边是 3x，那么这个矩阵中选不相邻的数字就是一个合法方案，计算这个方案数用状压 dp 即可。
注意每列形如 a, 2a, 4a, ...，每行形如 b, 3b, 9b, ...，所以只要每行（列）的开头不一样，那么整行（列）就不会有重复数字；同理，只要两个同样构造方法的矩阵的左上角数字不一样，这两个矩阵的数字不会有交集。
那么我们对于所有剩下的数字的最小的作为左上角 dp 一下，每个矩阵的方案数乘积就是答案。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
int read() {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}
#define maxn 100010
#define maxlog 18
#define maxs 2048
#define MOD 1000000001
#define LL long long
int n, len[maxlog], f[maxlog][maxs];
bool used[maxn];
int solve(int x) {
memset(len, 0, sizeof(len));
int N = 0;
for(int j = 1; x <= n; j++, x *= 3)
for(int i = 1, t = x; t <= n; i++, t <<= 1) {
len[i] = max(len[i], j);
used[t] = 1;
N = max(N, i);
}
memset(f, 0, sizeof(f));
f[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= N; i++) {
int all = (1 << len[i]) - 1, all1 = (1 << len[i-1]) - 1;
for(int S = 0; S <= all; S++) {
bool ok = 1;
for(int j = 0; j < len[i] - 1; j++)
if((S >> j & 1) && (S >> j + 1 & 1)){ ok = 0; break; }
if(!ok) continue;
for(int S1 = 0; S1 <= all1; S1++) if(f[i-1][S1] && !(S & S1)) {
f[i][S] += f[i-1][S1];
if(f[i][S] >= MOD) f[i][S] -= MOD;
}
}
}
int ans = 0;
for(int S = 0; S <= (1 << len[N]) - 1; S++) {
ans += f[N][S];
if(ans >= MOD) ans -= MOD;
}
return ans;
}
int main() {
n = read();
int ans = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) if(!used[i])
ans = (LL)ans * solve(i) % MOD;
printf("%d
", ans);
return 0;
}
这题不能用 fread。。。