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  • 简单易懂的拓扑排序

    1.定义

    对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG) G进行拓扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任意一对顶点u和v,若边(u,v)∈E(G),则u在线性序列中出现在v之前。通常,这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列,简称拓扑序列。简单的说,由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序,这个操作称之为拓扑排序。

    在AOV网中,若不存在回路,则所有活动可排列成一个线性序列,使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面,我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order),由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。AOV网的拓扑序列不是唯一的,满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。 

    2.拓扑排序的实现步骤

    在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出。

    从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧(白话就是:删除所有和它有关的边)。

    重复上述两步,直至所有顶点输出,或者当前图中不存在无前驱的顶点为止,后者代表我们的有向图是有环的,因此,也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。

    3.拓扑排序实例手动实现

    如果我们有如下的一个有向无环图,我们需要对这个图的顶点进行拓扑排序,过程如下:

     

    首先,我们发现V6和v1是没有前驱的,所以我们就随机选去一个输出,我们先输出V6,删除和V6有关的边,得到如下图结果:

     

    然后,我们继续寻找没有前驱的顶点,发现V1没有前驱,所以输出V1,删除和V1有关的边,得到下图的结果:

     

    然后,我们又发现V4和V3都是没有前驱的,那么我们就随机选取一个顶点输出(具体看你实现的算法和图存储结构),我们输出V4,得到如下图结果:

     

    然后,我们输出没有前驱的顶点V3,得到如下结果:

     

    然后,我们分别输出V5和V2,最后全部顶点输出完成,该图的一个拓扑序列为:

    v6–>v1—->v4—>v3—>v5—>v2

    过程简述:

    从 DAG 图中选择一个 没有前驱(即入度为0)的顶点并输出。

    从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。

    重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。若当前图中不存在无前驱的顶点说明有向图中必存在环。

    4.拓扑排序Java实现

    (1)   示例

    现在你总共有 n 门课需要选,记为 0 到 n-1。

    在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如,想要学习课程 0 ,你需要先完成课程 1 ,我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

    给定课程总量以及它们的先决条件,判断是否可能完成所有课程的学习?

    示例 1:

    输入: 2, [[1,0]]

    输出: true

    解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要完成课程 0。所以这是可能的。

    示例 2:

    输入: 2, [[1,0],[0,1]]

    输出: false

    解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要先完成​课程 0;并且学习课程 0 之前,你还应先完成课程 1。这是不可能的。

    说明:

    输入的先决条件是由边缘列表表示的图形,而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。

    你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。

    (2)   截图步骤:

    本题思路:采用拓扑排序+广度优先搜索的方式进行求解。

    步骤一:对所有节点建立一个入度表times,times[i]表示第i个节点有多少个入度,(这里入度的意思是当实现此节点时,需要多少个前驱节点的支持)。

    步骤二:将入度表中入度为0的节点添加到队列que中。

    步骤三:取出队列第一个元素temp;并将times中,以该节点作为前驱节点的入度减一,并判断入度是否等于0,如果等于0加入到队列中。

    步骤四:重复步骤三,知道队列为空,判断times中是否存在非0的节点,如果存在则说明有环,不存在说明无环。(其中队列每次输出的值就是拓排序的输出值)

    (3)   Java代码:

    class Solution {
        public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
           int []times=new int[numCourses];
            for(int i=0;i<prerequisites.length;i++) {
                int num=prerequisites[i][0];
                times[num]=times[num]+1;
            }
            Queue<Integer> que=new LinkedList<Integer>();
            for(int j=0;j<times.length;j++) {
                if(times[j]==0) {
                    que.add(j);
                }
            }
            while(!que.isEmpty()) {
                int temp=que.poll();
                for(int m=0;m<prerequisites.length;m++) {
                    if(prerequisites[m][1]==temp) {
                        times[prerequisites[m][0]]--;
                        if(times[prerequisites[m][0]]==0) {
                            que.add(prerequisites[m][0]);
                        }
                    }
                }
            }
            for(int e=0;e<times.length;e++) {
                if(times[e]!=0) {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        }
    }
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