spoj7001 Visible Lattice Points 莫比乌斯反演+三维空间互质对数

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题目：Visible Lattice Points
链接：https://vjudge.net/contest/178455#problem/A
题意：一个n*n*n大小的三维空间。一侧为（0,0,0）另一侧为(n,n,n)；
问从(0,0,0)出发的经过该范围三维空间内整数点坐标的射线有多少条。

思路：
类比二维的：求1<=x<=n,1<=y<=n; gcd(x,y)=1的对数。因为y/x，所以可以反过来。
三维的：求1<=x,y,z<=n; gcd(x,y,z)=1的对数。

定义:
f(n) 表示gcd(x,y,z)=n的对数。

F(n) 表示n|gcd(x,y,z)的对数。

f(n) = sigma(mu[d/n]*F(d)) (n|d)

f(1) = sigma(mu[d]*F(d)) (1|d);

F(n) = (x/n)*(y/n)*(z/n);

由于坐标存在0的情况。当x，y，z两个为0时候，就是坐标轴，三个坐标轴贡献为3；
当x,y,z一个为0的时候，有三个面。为二维的。每一面求一下二维的互质对数[1,n]中gcd(x,y)=1的对数。

ans = 三维对数+3个二维对数+三个坐标轴。


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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)
typedef pair<int, int> P;
const LL INF = 1e10;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e6 + 100;
int prime[maxn], tot, not_prime[maxn];
int mu[maxn], sum[maxn];
void init()
{
    mu[1] = 1;
    tot = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(!not_prime[i]){
            prime[++tot] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; prime[j]*i<maxn; j++){
            not_prime[prime[j]*i] = 1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[prime[j]*i] = 0;
                break;
            }
            mu[prime[j]*i] = -mu[i];
        }
    }
    for(int i = 1; i < maxn; i++) sum[i] = sum[i-1]+mu[i];
}
LL solve2(int n)///x在[1,n],y在[1,n]。求gcd(x,y)=1的对数.
{
    LL ans = 0;
    int last;
    for(int i = 1; i <= n; i=last+1){
        last = n/(n/i);
        ans += (LL)(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(n/i);
    }
    return ans;
}
LL solve(int n)///x在[1,n], y在[1,n]，z在[1,n] gcd(x,y,z)=1的对数。
{
    LL ans = 0;
    int last;
    for(int i = 1; i <= n; i=last+1){
        last = n/(n/i);
        ans += (LL)(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(n/i)*(n/i);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T;
    int n;
    init();
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld
",solve(n)+3+3*solve2(n));
    }
    return 0;
}