提升算法(1)

对于分类问题而言，给定一个训练样本集，求比较粗糙的分类规则（弱分类器）要比求精确的分类规则（强分类器）容易得多，提升法就是从弱学习算法出发，反复学习，得到一系列弱分类器，然后组合弱分类器构成强分类器。大多数提升法都是改变训练数据的概率分布（训练数据的权值分布），针对不同的训练数据分布调用弱学习算法学习一系列弱分类器。

关于AdaBoost的做法是，1、提高前一轮弱分类器错误分类样本的权值，降低正确分类样本的权值，从而以权值增大来获取对弱分类器更大的关注。2、关于分类结果的问题，AdaBoost采取加权多数表决的方法，加大分类误差率小的弱分类器的权值，使其在表决中起到作用更大，减少分类误差率大的弱分类器的权值，使其在表决中起较小的作用。

 AdaBoost算法：

输入：训练数据集，其中，弱学习算法

输出：最终分类器G(x)

(1) 初始化训练数据的权值分布(设定基分类器对每条训练数据的权值)

(2) 对m=1,2,...,M

1) 使用具有权值分布D_m的训练数据集学习，得到基本分类器：

2) 计算G_m(x)在训练数据集上的分类误差率

3) 计算G_m(x)的系数(计算每个基分类器的系数，用以进一步加权求和得到sign分类结果)

(这里的log为ln)

4) 更新训练数据集的权值分布(用以更新数据集的权值w)

这里，Z_m是规范化因子

以上部分的为各实例x_i由基分类器判别得到的所属类别，那么在基分类器正确分类的时候值为1，错误分类的时候值为-1.

(3) 构建基本分类器的线性组合(构造最终的分类)

得到最终分类器：

 AdaBoost算法的说明：

 AdaBoost反复学习基本分类器，在每一轮m=1,2,...,M顺序执行如下操作：

1）使用当前分布D_m加权的训练数据集，学习基本分类器G_m(x)

2）计算基本分类器G_m(x)在加权训练数据集上的分类误差率：

其中。这说明G_m(x)在加权的训练数据集上的分类误差率是被G_m(x)误分类样本的权值之和，由此可得数据权值分布D_m与基本分类器G_m(x)的分类误差率的关系。

3）计算基本分类器G_m(x)的系数a_m，表示G_m(x)在最终分类器的重要性，由a_m的计算公式可以发现，当e_m小于0.5的时候a_m大于0，反之亦然。因而分类误差率越小的基本分类器在最终分类器中起到的作用越大。

4）通过更新训练数据的权值分布来为下一轮迭代做输入，表示如下：

表示基分类器的返回判断结果。

从而被基分类器G_m(x)误分类样本的权值会得以扩大，被正确分类样本的权值会缩小。误分类样本在下一轮学习中起到更大作用，以改变训练数据权值分布，来使训练数据在基分类器的学习中起不同的作用。

在最终的分类过程中，f(x)的符号决定实例分类，通过基分类器的线性组合构建最终分类器。

AdaBoost最基本的性质是它能在学习过程中不断减少训练误差，即在训练数据集上的分类误差率，关于这个问题有如下定理：

AdaBoost的训练误差界：

其中I为指示函数，当满足条件时为1，否则为0；

二分类问题AdaBoost的训练误差界：