背包问题

一、01背包

给你一个容量为W的书包，一些体积(重量)为wi，价值为vi的东西，每个东西只有放与不放两种选择。

经典例题：HDU 2602

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

题解：背包容量为V，有N件物品，已知每件物品的体积(重量)与价值，求最大价值。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1005;
const int mod = 1e9 + 7;
int dp[N][N], v[N], w[N];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin >> T;
    while(T--){
        int n, V;
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        
        cin >> n >> V;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            cin >> v[i];
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            cin >> w[i];
        }
        //dp[i][j]表示在前i个物品中，总重量不超过j的总价值
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 0; j <= V; j++){//顺序  从0到V
                if(j < w[i]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];//放不下该物品，价值不变
                }
                else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);//放得下，求最大
                }
            }
        }
        
        cout << dp[n][V] << endl;
    }
    return 0;
}

二、完全背包

给你一个书包，和一些物品，物品价值和体积(重量)已知，数量无数，可以随便放。

经典例题：HDU 1114

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

题解：一个存钱罐重a，装满钱重b，给你一些硬币的价值和重量，求最大价值。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 10005;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    
    while(T--)
    {
        int a, b, m;
        int dp[N], v[N], w[N];//dp[j]表示在重量不超过j的情况下的最大价值
        memset(dp, inf, sizeof(dp));
        dp[0] = 0;
        
        cin >> a >> b >> m;
        
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            cin >> v[i] >> w[i];
        }
        
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            for(int j = w[i]; j <= b - a; j++)
            {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
            }
        }
        
        if(dp[b - a] == inf)
            cout << "This is impossible." << endl;
        else
            cout << "The minimum amount of money in the piggy-bank is " << dp[b - a] << '.' << endl;
        
    }
    return 0;
}

三、多重背包

给你一个书包，物品的价值和重量已知，每种物品的数量有限定且不一样。

可以转化成01背包和完全背包问题求解。

经典例题：HDU 2844

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2844

题解：给你几种硬币的价值和数量，求他们能组成多少种价值。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 100005;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int dp[N];
int v[N], num[N];

void CompletePack(int v, int w, int bag) //完全背包 
{
    for(int i = w; i <= bag; i++) // 顺序 
    {
        dp[i] = max(dp[i], dp[i - w] + v);
    }
}

void ZeroOnePack(int v, int w, int bag) //01背包 
{
    for(int i = bag; i >= w; i--) //逆序  
    {
        dp[i] = max(dp[i], dp[i - w] + v);
    }
}

void MultiplePack(int v, int w, int count, int limit)//多重背包 
{
    if(w * count >= limit)//背包足够大，转化为完全背包问题 
    {
        CompletePack(v, w, limit);
        return;
    }
    else//转化为01背包 
    {
        int k = 1;
        while(k <= count)
        {
            ZeroOnePack(k * v, k * w, limit);
            count -= k;
            k *= 2;//采用二进制思想 
        }
        ZeroOnePack(count * v, count * w, limit);
        return;
    }
}

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false); 

    int n, m;
    while(cin >> n >> m && n && m)
    {
        memset(dp, -inf, sizeof(dp));
        dp[0] = 0;
        
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            cin >> v[i];
        }
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            cin >> num[i];
        }
        
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            MultiplePack(v[i], v[i], num[i], m);
        }
        
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            if(dp[i] > 0)
                ans++;
        }
        
        cout << ans << endl;
        
    }
    return 0;
}