unique-binary-search-trees

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题目：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3


解析：题目的意思就是用n个数可以组成多少种结构不一样的二叉查找树。
这里注意二叉查找树的特性，左子树小于根节点，右子树大于根节点。最开始的根节点有n种可能性，对于每一种可能性i（即根节点为i时）,
所有结构情况就是根节点的左子树的结构总数*右子树的结构总数。且根节点为i时，它左子树所有元素就是1,...,i-1,总共i-1个数构成的所有情况，
右子树就是i+1,...,n总共n-i个元素构成的所有情况。因为只统计所有情况，所以计算右子树的情况时，i+1,...,n的排列情况总数也就等于1,...,n-i的情况总数

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        if(n<=1)
            return 1;
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            sum+=numTrees(i-1)*numTrees(n-i);
        }
        
        return sum;
    }
}

上面采用递归的方式。还可以使用非递归方式，也就是动态规划。
dp[n]表示n个数时的总可能性，这n个数依次可以作为根节点，
假设i作为根节点，此时的可能性是dp[i-1]*dp[n-i],所以dp[n]=dp[0]*dp[n-1]+dp[1]*dp[n-2]+...+dp[n-1]*dp[0],
这里dp[0]设为1，用于补全这个递推式。根据递推公式，我们要依次求出dp[2],dp[3],...dp[n]，每一次求的是时候，都会用到上面公式。

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        //动态规划的题，设置一个数组存放当前数的总路径数
        int[] dp=new int[n+1];///从1开始，0设为1就行
        dp[0]=1;
        dp[1]=1;
        
        for(int i=2;i<=n;i++){

　　　　　　　　for(int j=1;j<=i;j++){
　　　　　　　　　　dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
　　　　　　　　　　}

        }
        return dp[n];
    }
}