最大公约数与最小共倍数的相关算法

1. 最大公约数

   （1）求两个数的最大公约数

　　A  欧几里得算法

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
　　假设d是a,b的一个公约数，则有
　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
　　d | b , d |r ，但是a = kb +r
　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

int Gcd(int a, int b)
　{
    　if(b == 0)
        　return a;
    　return Gcd(b, a % b);
　}

     

      B   Stein算法
　　　欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。
　　考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的 模，只需要一　　　个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过 64位的整数的模，用户也许　　　不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样　　的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 （注：说到抛弃除法和取模，其实辗转相除法可以写成减法的形式)

　　　Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

　　为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

　　gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身
　　gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。
　　

　　有了上述规律就可以给出Stein算法如下：

　　如果A=0，B是最大公约数，算法结束
　　如果B=0，A是最大公约数，算法结束
　　设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
　　如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
　　如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
　　如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
　　如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn
　n++，转4
　　这个算法的原理很显然，所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。

int Gcd(int a, int b)
{
    if(a == 0) return b;
    if(b == 0) return a;
    if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
    else if(a % 2 == 0)  return gcd(a >> 1, b);
    else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1);
    else return gcd(abs(a - b), Min(a, b));
}

　　考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r= b-1。如果a小于2N，这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势。

 

 （2）N个数的最大公约数算法

　　　把n个数保存为一个数组，参数为数组的指针和数组的大小(需要计算的数的个数)，

　　然后先求出gcd(a[0],a[1]), 然后将所求的gcd与数组的下一个元素作为gcd的参数继续求gcd，

　　　依次，这样就产生一个递归的求ngcd的算法。

int ngcd(int *array,  int n)
{
    if (n == 1)  return *a;

    return gcd(a[n - 1],  ngcd(a, n - 1));
}

2. 最小共倍数

   （1）两个数的最小公倍数(lcm)算法

          lcm(a, b) = a*b/gcd(a, b)。

int lcm(int a, int b)
{
    return a * b / gcd(a, b);
}

   （2）n个数的最小公倍数算法

　　　求出头两个的最小公倍数,再将欺和大三个数求最小公倍数直到数组末尾，

　　　这样产生一个递归的求nlcm的算法。

int nlcm(int *a, int n)
{
     if (n == 1)
            return *a;
     else
           return lcm(a[n - 1], nlcm(a, n - 1));
}

　　如有错误，欢迎大家指正！

　　注：借鉴了vontroy，农夫三拳的博客，谢谢！