一、前言
1、空间不变性：我们使用的无论哪种方法都应该和物体的位置无关
- 局部性：神经网络的底层应该只探索输入图像中的局部区域，而不考虑图像远处区域的内容，这就是“局部性”原则
- 平移不变性：不管出现在图像中的哪个位置，神经网络的底层应该对相同的图像区域做类似的相应
2、卷积神经网络（convolutional neural network）：是含有卷积层（convolutional layer）的神经网络
二、二维互作运算
1、虽然卷积运算得名于卷积（convolution）运算，但我们通常在卷积层中使用更加直观的互相关（cross-correlation）运算
2、基本概念
- 输入是一个高和宽均为3的二维数组，记作为（3，3）
- 核数组的高和宽都是2，该数组在卷积计算中又称为卷积核或过滤器
- 卷积核窗口（卷积窗口）的形状取决于卷积核的高和宽
3、在二维互相关运算中，卷积窗口从输入数组的最左上方开始，按从左往右、从上往下的顺序依次在输入数组中滑动。当卷积窗口滑动到某一位置时，窗口中的输入子数组与核数组按元素相乘并求和，得到输出数组中相应位置的元素。
4、输出大小
输入形状：
卷积核窗口形状：
import torch from torch import nn from d2l import torch as d2l
# 返回互相关运算后的输出张量
def corr2d(X, K): #@save
"""计算二维互相关运算。"""
# K是核矩阵。h、w就是行数和列数
h, w = K.shape
# 定义输出矩阵的大小
Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
# 双重嵌套，给输出矩阵赋值
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum()
return Y
2、通过输入张量X和卷积核张量K，来验证上述二维互相关运算的输出
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
print(type(K.shape))
corr2d(X, K)
#输出结果
<class 'torch.Size'>
tensor([[19., 25.],
[37., 43.]])
四、卷积层
1、卷积层对输入和卷积核权重进行互相关运算，并在添加标量偏置之后产生输出
2、卷积层中的两个被训练的参数是卷积核权重和标量偏置。
3、像我们之前随机初始化全连接层一样，在训练基于卷积层的模型时，我们也随机初始化卷积核权重。
class Conv2D(nn.Module):
# kernel_size：超参数
def __init__(self, kernel_size):
super().__init__()
# torch.rand：均匀分布，从区间[0, 1)中抽取的一组随机数（返回一个张量）
self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))
self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))
def forward(self, x):
# 将X与self.weight进行互相关运算计算输出张量+偏置量
return corr2d(x, self.weight) + self.bias
五、图像中物体边缘检测
卷积层的简单应用——检测图像中物体的边缘，即找到像素变化的位置
1、首先，构造一个 6×8 像素的黑白图像（中间四列为黑色（0），其余像素为白色（1））
# 用张量表示图像
X = torch.ones((6, 8))
X[:, 2:6] = 0
X
print(X.T)
#输出结果
tensor([[1., 1., 1., 1., 1., 1.],
[1., 1., 1., 1., 1., 1.],
[0., 0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0., 0.],
[1., 1., 1., 1., 1., 1.],
[1., 1., 1., 1., 1., 1.]])
2、接下来，构造一个高度为 1 、宽度为 2 的卷积核 K
K = torch.tensor([[1.0, -1.0]])
3、对参数 X（输入）和 我们设计的卷积核 K 执行互相关运算
Y = corr2d(X, K)
Y
#输出结果
tensor([[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.]])
4、可以发现，输出Y中的1代表从白色到黑色的边缘，-1代表从黑色到白色的边缘。其它情况输出为0
5、注意：卷积核K只可以检测垂直边缘
六、学习卷积核
1、通过查看“输入-输出”对来学习由 X 生成 Y 的卷积核。
2、首先，先构造一个卷积层，并将其卷积核初始化为随机张量。
3、每次迭代中，我们比较 Y 与卷积层输出的平方误差，然后计算梯度来更新卷积核。
'''
nn.Conv2d的功能是：对由多个输入平面组成的输入信号进行二维卷积
输入信号的形式：[ batch_size, channels, height_1, width_1 ]
1、batch_size:一个batch中样例的个数
2、channels ：通道数，也就是当前层的深度
3、height_1：图片的高
4、width_1：图片的宽
'''
# 构造一个二维卷积层，它具有1个输出通道和形状为（1，2）的卷积核
# 第一个1是输入通道，第二个1是输出通道
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(1, 2), bias=False)
print(conv2d)
print(conv2d.weight)
print(conv2d.bias)
# 这个二维卷积层使用四维输入和输出格式（批量大小、通道、高度、宽度），
# 其中批量大小和通道数都为1
print(X)
print(Y)
print('----------')
# X是输入，Y是输出
# 在学习卷积核中，可以通过查看“输入-输出”对老学习由X生成Y的卷积核
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
print(X)
print(Y)
for i in range(10):
# 卷积层输出
Y_hat = conv2d(X)
# 在每次迭代中，比较真实输出Y与卷积层输出的平方误差
l = (Y_hat - Y)**2
conv2d.zero_grad()
# 然后计算梯度
l.sum().backward()
# 迭代（更新）卷积核
conv2d.weight.data[:] -= 3e-2 * conv2d.weight.grad
if (i + 1) % 2 == 0:
print(f'batch {i+1}, loss {l.sum():.3f}')
4、查看所学的卷积核的权重张量
conv2d.weight.data.reshape((1, 2)),K #输出结果 (tensor([[ 0.9765, -1.0093]]), tensor([[ 1., -1.]]))
七、特征图和感受野
1、二维卷积层输出的二维数组可以看作输入在空间维度（宽和高）上某一级的表征，也叫特征图
2、影响元素x的前向计算的所所有可能输入区域（可能大于输入的实际尺寸），叫做x的感受野。
3、我们可以通过更深（嵌套使用）的卷积神经网络使特征图中单个元素的感受野变得更加广阔，从而捕捉输入上更大尺寸的特征。
八、小结
1、二维卷积层的核心计算是二维互相关运算。最简单的形式是，对二维输入数据和卷积核执行互相关操作，然后添加一个偏置。
2、可以设计一个卷积核来检测图像的边缘
3、可以从数据中学习卷积核的参数。
4、核矩阵的大小是超参数。核矩阵和偏移是可学习的参数