poj 2533 Longest Ordered Subsequence 最长递增子序列(LIS)

两种算法

1.  O(n^2)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int a[1005];
int dp[1005];
int main()
{
    int n, maxn;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        maxn = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            dp[i] = 1;
            for(int j = 0; j < i; j++)
            {
                if(a[j] < a[i] && dp[j] + 1 > dp[i])
                    dp[i] = dp[j] + 1;
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(maxn < dp[i])
                    maxn = dp[i];
        }
        printf("%d
", maxn);
    }
    return 0;
}

2.O(nlog(n))

O(nlogn)的算法关键是它建立了一个数组c[]，c[i]表示长度为i的不下降序列中结尾元素的最小值，用K表示数组目前的长度，算法完成后K的值即为最长不下降子序列的长度。

               具体点来讲：

                设当前的以求出的长度为K，则判断a[i]和c[k]：

                1.如果a[i]>=c[k]，即a[i]大于长度为K的序列中的最后一个元素，这样就可以使序列的长度增加1，即K=K+1,然后现在的c[k]=a[i]；

                 2.如果a[i]<c[k]，那么就在c[1]...c[k]中找到最大的j,使得c[j]<a[i],然后因为c[j]<a[i]，所以a[i]大于长度为j的序列的最后一个元素，那么就可以更新长度为j+1的序列的最后一个元素，即c[j+1]=a[i]。

                 算法复杂度的分析：

               因为共有n个元素要进行计算；每次计算又要查找n次，所以复杂度是O(n^2)，但是，注意到c[]数组里的元素的单调递增的，所以我们可以用二分法，查找变成了logn次。这样算法的复杂度就变成了O(nlogn)。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[1005],dp[1005],c[1005],n;

int bin(int size,int k)
{
    int l=1,r=size;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(k>c[mid]&&k<=c[mid+1])
            return mid+1;
        else if(k<c[mid])
            r=mid-1;
        else
            l=mid+1;
    }

}
int LIS()
{
    c[1]=a[1];
    dp[1]=1;
    int j,ans=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]<=c[1])
            j=1;
        else if(a[i]>c[ans])
            j=++ans;
        else
            j=bin(ans,a[i]);
        c[j]=a[i];
        dp[i]=j;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        printf("%d
",LIS());
    }
    return 0;
}