题目：
有n个重量和价值分别为wi，vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。1≤n≤100，1≤wi，vi≤100，1≤W≤10000
输入：
n=4 (w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)} W=5
输出：
7（选择第0，1，3号物品）
因为对每个物品只有选和不选两种情况，所以这个问题称为01背包。
普通递归型：因为每个物品只有选与不选两种情况，很容易写出递归代码，也可以理解为深搜。简单来说就是选择选与不选的两种情况下的最大值。
public class _01背包问题1 { // 输出7 static int[] w = { 2, 1, 3, 2 };// 重量表 static int[] v = { 3, 2, 4, 2 };// 价值表 static int n = 4;// 物品数量 static int W = 5;// 背包的承重极限 public static void main(String[] args) { int ww = W; int ans = dfs(0, ww); System.out.println(ans); } /** * 2^n的复杂度 * @param i 选择当前物品的下标 * @param ww 容量 * @return */ static int dfs(int i, int ww) { if (ww <= 0) return 0;// 装不进去 if (i == n) return 0;// 没东西可选了 int v2 = dfs(i + 1, ww);// 不选择当前物品 if (ww >= w[i]) { int v1 = v[i] + dfs(i + 1, ww - w[i]);// 选择当前物品 return Math.max(v1, v2); } else { return v2; } } }
记忆型递归(备忘录算法)：我们发现使用普通递归或者深搜在数据量比较大的时候一般耗时会比较大，原因是有些重复子问题重复求解，比如用递归求解斐波那契数列的时候，那么这种情况就可以用记忆型递归来优化。记忆型递归就是把每一个子问题的结果都记录下来，那么在后面遇到重复的子问题时就不用重复求解了，只需简单的查询就好了，简单的说就是计算之前先查询，计算之后做记录的操作。这道题目涉及两个变量，所以可以用二维数组来记录结果，在其他的题目中我们也可以用map等数据结构来记录。记忆型递归也叫记忆型的深搜。
1 import java.util.Arrays; 2 3 public class _01背包问题2 { 4 // 输出7 5 static int[] w = { 2, 1, 3, 2 };// 重量表 6 static int[] v = { 3, 2, 4, 2 };// 价值表 7 static int n = 4;// 物品数量 8 static int W = 5;// 背包的承重极限 9 10 public static void main(String[] args) { 11 int ww = W; 12 rec = new int[n][W + 1]; 13 for (int i = 0; i < n; i++) { 14 Arrays.fill(rec[i], -1); 15 } 16 ww = W; 17 int ans = m(0, ww); 18 System.out.println(ans); 19 } 20 21 static int[][] rec; 22 23 /** 24 * 记忆型递归 25 * 26 * @return 27 */ 28 static int m(int i, int ww) { 29 if (ww <= 0) 30 return 0; 31 if (i == n) 32 return 0; 33 // 1.计算之前先查询 34 if (rec[i][ww] >= 0) 35 return rec[i][ww]; 36 37 int v2 = m(i + 1, ww);// 不选择当前物品 38 int ans; 39 if (ww >= w[i]) { 40 int v1 = v[i] + m(i + 1, ww - w[i]);// 选择当前物品 41 ans = Math.max(v1, v2); 42 } else { 43 ans = v2; 44 } 45 // 2.计算之后做保存 46 rec[i][ww] = ans; 47 return ans; 48 } 49 }
动态规划三个核心元素：最优子结构、边界、状态转移方程。那么这道题目的最优子结构就是当前物品选与不选造成的最大价值。边界代码里面体现，而状态转移方程则需要下面的excel表格来推出。
动态规划解法：前面的递归都是自顶向下的递归，而动态规划则是自底向上的递推。动态规划最重要的是要发现其中的规律，找出相应的dp公式，我们可以使用excel表格来帮助我们更好地展现其中的过程。使用Excel表格来进行dp公式的推导是非常有利的。
选择的过程实际上也是对于当前背包容量的多种组合求解出其中的最大价值的过程。这里可以通过观察表格的数据得到，用二维数组通过循环中去寻找，那么求解出的该行该列的二维数组的值代表当前可以选择的物品编号的范围中价值最大的，那么循环结束之后最后求解出来的就是我们需要求解的最大价值。
1 public class _01背包问题3 { 2 // 输出7 3 static int[] w = { 2, 1, 3, 2 };// 重量表 4 static int[] v = { 3, 2, 4, 2 };// 价值表 5 static int n = 4;// 物品数量 6 static int W = 5;// 背包的承重极限 7 8 public static void main(String[] args) { 9 System.out.println(dp()); 10 } 11 12 static int dp() { 13 int[][] dp = new int[n][W + 1]; 14 // 初始化dp表的第一行 15 for (int i = 0; i < W + 1; i++) { 16 if (i >= w[0]) {// 每种容量-0号物品 17 dp[0][i] = v[0]; 18 } else { 19 dp[0][i] = 0; 20 } 21 } 22 // 其他行 23 for (int i = 1; i < n; i++) { 24 // j是列，也是背包的剩余容量 25 for (int j = 0; j < W + 1; j++) { 26 if (j >= w[i]) {// 要得起 27 int i1 = v[i] + dp[i - 1][j - w[i]];// 选择当前物品即i号物品，剩余容量 28 int i2 = dp[i - 1][j]; 29 dp[i][j] = Math.max(i1, i2); 30 } else { 31 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 32 } 33 } 34 } 35 return dp[n - 1][W]; 36 } 37 }