贪心思想的应用：Kruskal算法和Prim算法以及Dijkdtra算法

贪心思想的应用：Kruskal算法和Prim算法以及Dijkdtra算法

贪心思想：

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，算法得到的是在某种意义上的局部最优解 。

先介绍Kruskal算法，再来区分Prim算法和Dijkdtra算法

1.Kruskal算法(最小生成树)

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。
1. 把图中的所有边按代价从小到大排序；
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；
3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,viui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。
4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

2.Prim算法

此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
Prime算法的核心步骤是：在带权连通图中V是包含所有顶点的集合， U已经在最小生成树中的节点，从图中任意某一顶点v开始，此时集合U={v}，重复执行下述操作：在所有u∈U,w∈V-U的边(u,w)∈E中找到一条权值最小的边，将(u,w)这条边加入到已找到边的集合，并且将点w加入到集合U中，当U=V时，就找到了这颗最小生成树。

3.Dijkdtra算法

Dijkstra算法算是贪心思想实现的，首先把起点到所有点的距离存下来找个最短的，然后松弛一次再找出最短的，所谓的松弛操作就是，遍历一遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近，如果更近了就更新距离，这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。

操作步骤

(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。

(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

区别：

Prim和Dijktra都是属于贪心思想的应用，都是应用在带权图上，而且容易混淆，就第一步实现来看，二者似乎很相似，都是找出一条权重最小的边，把对应的点加入集合S，但找到节点后的操作就不一样了，下一步Prim是在剩下的顶点中U找顶点到集合S的所有边的最小边，加入S即可，如此反复，多次贪心得到最小生成树。对于Dijktra算法，其目的在于求点s到集合中点的最短路径，当有新的顶点加入集合后，要动态的对s到各点的距离进行更新，并记录路径，因为新加入的点可以作为中转点使路径更短，更新后选出最短的一条路径，并把该顶点加入S，重复操作就可以得到s点到所有点的最短路径。