递推关系：$C_n=C_0C_{n-1}+C_1C_{n-2}+\cdots+C_{n-2}C_{1}+C_{n-1}C_{0}$
其中，$C_1=1,C_0=1$
显示公式：$C_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}$
证明 $C_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}$
定理1：${-1/2 \choose n}=\frac{{2n \choose n}}{(-4)^n}$
证明：用数学归纳法对 n 归纳。
当 $n=1$ 时，${-1/2 \choose 1}=\frac{{2 \choose 1}}{-4}=-\frac{1}{2}$。
假设 $n=k$ 时成立。
当 $n=k+1$ 时，${-1/2 \choose k+1}=\frac{\left(\frac{-1}{2}\right)\times \cdots \times \left(\frac{-1}{2}-k+1\right) \times \left(\frac{-1}{2}-k\right)}{(k+1)!}=\frac{{2k \choose k}}{(-4)^k} \times \frac{-k-1/2}{k+1}=\frac{(2k) \times \cdots \times (k+1)}{(-4)^k \times (k+1)!} \times (-k-1/2)=\frac{(2k) \times \cdots \times (k+2)}{(-4)^{k+1}\times (k+1)!} \times 4(-k-1/2)(k+1)=\frac{C_{2k+2}^{k+1}}{(-4)^{k+1}}$。
定理2：$(1-4x)^{-1/2}$ 的展开式中，$x^n$ 的系数是 ${2n \choose n}$
证明：$(1-4x)^{-1/2}=\sum_{k=0}^{\infty}{-1/2 \choose k}(-4x)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{{2k \choose k}}{(-4)^k}}(-4x)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{2k \choose k}x^k$。
定理3：Catalan Numbers 的生成函数 $G(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$
证明：$G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{C_k x^k}$，因此 $G(x)^2=\sum_{k=0}^{\infty}(\sum_{j=0}^{k}C_jC_{k-j}) x^k=\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+1}x^k$，因此 $xG(x)^2-G(x)+1=0$，因此 $G(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ 或 $G(x)=\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}$，因为 $G(x)$ 的每个系数都是大于0，因此 $G(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$。
定理4：$G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n+1}{2n \choose n}x^n}$，$C_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}$
证明：
$\int_0^x (1-4t)^{-1/2} dt=-\frac{1}{4} \int_0^x (1-4t)^{-1/2} d(1-4t)=-\frac{1}{2}((1-4x)^{1/2}-1)=-\frac{(1-4x)^{1/2}-1}{2}=xG(x)=\sum_{k=0}^{\infty} C_k x^{k+1}$
$\int_0^x (1-4t)^{-1/2} dt = \int_0^x \sum_{k=0}^{\infty}{2k \choose k}t^k dt=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}{2k \choose k}x^{k+1}$
所以：$C_k=\frac{1}{k+1}{2k \choose k}$
应用
1、矩阵链乘
Find a recurrence relation for $C_n$, the numbers of ways to parenthesize the product of n+1 numbers $x_0*x_1*x_2\cdots*x_n$ to specify the order of multiplication.
2、出栈次序
给定一个入栈次序：$1,2,3,\cdots,n$，问有多少种出栈次序?
举个例子：如果入栈次序为1,2，则我们可以1进入，1出栈，2入栈，2出栈，这样出栈序列为1,2。
设入栈记为1，出栈记为0，则入栈+出栈操作能够转化为长度为2n的01序列，而我们又可以把他转化为“矩阵链乘”问题，即1为左括号，0为右括号。