【bzoj3684】 大朋友和多叉树 生成函数+多项式快速幂+拉格朗日反演

这题一看就觉得是生成函数的题...

我们不妨去推下此题的生成函数，设生成函数为$F(x)$，则$[x^s]F(x)$即为答案。

根据题意，我们得到 $F(x)=x+sum_{i∈D} F^i(x)$，其中前面单独出现的$x$可以理解为空树的情况。

如果$i$的范围很小，那么我们就可以用求根公式去解多项式方程23333。

然而考虑到$i$最大为$10^5$，根据阿贝尔定理，无根式解，所以不能用此方法。

我们对原先的式子做一个移项，得$F(x)-sum_{i∈D} F^i(x)=x$。

我们构造函数$G(x)=x-sum_{i∈D}x^i$。

不难发现$G(F(x))=F(x)-sum_{i∈D}F^i(x)=x$。也就是说$F(x)$和$G(x)$互为反函数。

然后我们现在已知$G(x)$，要求$F(x)$使得$G(F(x))=x$。也就是求$G(x)$的复合逆。

根据拉格朗日反演，若$G(F(x))=x$，则有$[x^s]F(x)=dfrac{1}{s}[x^{-1}]dfrac{1}{G^s(x)}$。

然后，我们对式子乘上$x^s$，得到$[x^s]F(x)=dfrac{1}{s}[x^{s-1}](dfrac{1}{G(x)})^s$。

然后后面就是多项式快速幂了。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define G 7
#define L long long
#define MOD 950009857
#define inv(x) pow_mod(x,MOD-2)
#define M 1<<18
using namespace std;

L pow_mod(L x,L k){
    L ans=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=ans*x%MOD;
        k=k>>1; x=x*x%MOD;
    }
    return ans;
}

void change(L a[],int n){
    for(int i=0,j=0;i<n-1;i++){
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        int k=n>>1;
        while(j>=k) j-=k,k>>=1;
        j+=k;
    }
}
void NTT(L a[],int n,int on){
    change(a,n);
    for(int h=2;h<=n;h<<=1){
        L wn=pow_mod(G,(MOD-1)/h);
        for(int j=0;j<n;j+=h){
            L w=1;
            for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){
                L u=a[k],t=a[k+(h>>1)]*w%MOD;
                a[k]=(u+t)%MOD;
                a[k+(h>>1)]=(u-t+MOD)%MOD;
                w=w*wn%MOD;
            }
        }
    }
    if(on==-1){
        L inv=inv(n);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
        reverse(a+1,a+n);
    }
}

void getinv(L a[],L b[],int n){
    if(n==1) return void(b[0]=inv(a[0]));
    static L A[M],B[M];
    memset(A,0,sizeof(A)); memset(B,0,sizeof(B));
    getinv(a,B,n>>1);
    for(int i=0;i<n;i++) A[i]=a[i];
    NTT(A,n<<1,1); NTT(B,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++) b[i]=(2*B[i]-A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD+MOD)%MOD;
    NTT(b,n<<1,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) b[n+i]=0;
}

void qiudao(L a[],L b[],int n){
    memset(b,0,sizeof(b));
    for(int i=1;i<n;i++) b[i-1]=i*a[i]%MOD;
}
void jifen(L a[],L b[],int n){
    memset(b,0,sizeof(b));
    for(int i=0;i<n;i++) b[i+1]=a[i]*pow_mod(i+1,MOD-2)%MOD;
}

void getln(L a[],L b[],int n){
    static L c[M],d[M];
    memset(c,0,M<<3); memset(d,0,M<<3);
    qiudao(a,c,n); getinv(a,d,n);
    NTT(c,n<<1,1); NTT(d,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++) c[i]=c[i]*d[i]%MOD;
    NTT(c,n<<1,-1);
    jifen(c,b,n);
}

void getexp(L a[],L b[],int n){
    if(n==1){b[0]=1; return;}
    static L lnb[M]; memset(lnb,0,M<<3);
    getexp(a,b,n>>1); getln(b,lnb,n);
    for(int i=0;i<n;i++) lnb[i]=(a[i]-lnb[i]+MOD)%MOD;
    lnb[n]=0;
    lnb[0]=(lnb[0]+1)%MOD;
    NTT(lnb,n<<1,1); NTT(b,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++) b[i]=b[i]*lnb[i]%MOD;
    NTT(b,n<<1,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) b[i+n]=0;
}

L g[M]={0},f[M]={0};

void pow_mod(L a[],L b[],int n,int k){
    memset(b,0,M<<3);
    getln(a,b,n);
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=b[i]*k%MOD;
    memset(b,0,M<<3);
    getexp(a,b,n);
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x; scanf("%d",&x);
        g[x-1]=-1;
    }
    g[0]=1;
    int nn=1;while(nn<n) nn<<=1;
    getinv(g,f,nn);
    memset(g,0,sizeof(g)); 
    pow_mod(f,g,nn,n);
    L ans=inv(n)*g[n-1]%MOD;
    cout<<ans<<endl;
}