背包九讲之一：01背包问题：一个物品只允许选一次

问题描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5

1 2

2 4

3 4

4 5

输出样例

8

使用二维数组，代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
/*
f[i][j]表示只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大是多少
result = max{f[n][0-v]}
1.不选第i个物品，f[i][j]=f[i-1][j];
2.选第i个物品，f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i]（v[i]是体积，w[i]是价值）
f[0][0]=0;
*/
const int array_size = 1001;
int f[array_size][array_size], v[array_size], w[array_size], N, V;
int main() {
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        for (int j = 0; j <= V; ++j) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j>=v[i])
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    /*
    不能直接使用
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        for (int j = v[i]; j <= V; ++j)
            f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
    因为漏掉了j<v[i]时，一定满足f[i][j]=f[i-1][j]的情况。
    例如i=1,j=2，v[1]=1,w[1]=3时,2>=v[1],f[1][2]=3
    下轮i=2,j=2，v[2]=3,w[2]=4时,2<v[2],f[2][2]=0，出错。应当f[2][2]=f[1][2]=3
    */
    cout << f[N][V]; //表示的是物品个数<=N，体积<=V的最大价值
}

优化后使用一维数组，代码如下：

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int array_size = 1001;
int f[array_size], v[array_size], w[array_size], N, V;
int main() {
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        /*
        1、此处若j正序，在第i轮（前i个物品）中，由于j-v[i]<j,先算的是f[j-v[i]],
        再算f[j]。则f[j-v[i]]相当于上例中的f[i][j-v[i]]。
        2、若j倒叙，在第i轮中，先算f[j],再算f[j-v[i]]。则f[j-v[i]]
        相当于上例中的f[i-1][j-v[i]]。故使用倒叙。
        */
        for (int j = V; j >= v[i]; --j)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    /*
    迭代过程中并未考虑上例红字部分的问题。因为第i轮中的f[j]
    未重新赋值前天然就是第i-1轮中的f[j]
    */
    cout << f[V];//f[V]表示的是体积<=V的最大价值
}
/*
若是要求物品恰好装满背包时的最大价值，只需
初始化时将f[0]置0，f[1]-f[V]都置-INF就可以了。
确保所有状态都是由f[0]转移过来。
*/