背包九讲之二：完全背包问题：一个物品允许选多次

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每种物品都有无限件可用。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5

1 2

2 4

3 4

4 5

输出样例

10

 代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
/*
f[i][j]表示只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大是多少
result = f[n]f[v]
1.不选第i个物品，f[i][j]=f[i-1][j];
2.选第i个物品，f[i][j]=f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]（v[i]是体积，w[i]是价值,k是物品最大个数）
f[0][0]=0;
*/
const int array_size = 1001;
int f[array_size][array_size], v[array_size], w[array_size], N, V;
int main() {
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        cin >> v[i] >> w[i];
        for (int j = 0; j <= V; ++j) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            for (int k = 1; k * v[i] <= j; ++k)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
        }

    }
    cout << f[N][V];
}

优化后如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int array_size = 1001;
int f[array_size], v[array_size], w[array_size], N, V;
int main() {
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        cin >> v[i] >> w[i];
        /*
        相当于01背包问题换了j的遍历顺序，结果就是第i轮（前i个物品）
        中，先算f[j-v[i]]，再算f[j]
        数学归纳法证明优化后算法成立：
        1、前1个物品中：f[1]=2,f[2]=4,f[3]=6,f[4]=8,f[5]=10，显然f[j]都是正确的。
        2、假设在前i-1个物品中，f[j]都是正确的。
        3、前i个物品中，对于某个j而言，如果最优解包含k个v[i]，则一定会枚举到f[j-k*v[i]]
        f[j-k*v[i]]是如何得到的呢？f[j-k*v[i]]=max{f[j-k*v[i]],f[j-k*v[i]-v[i]]+w[i]}
        （由于j正序，f[j-k*v[i]]为前i-1个物品的值，f[j-k*v[i]-v[i]]为前i个物品的值）
        最后会传递到max{f[v[i]],f[0]+w[i]}处。因为f[v[i]]一定正确（2中已假设前i-1个物品
        中的f[j]全都正确），f[0]一定正确（=0），w[i]一定正确，所以max{f[v[i]],f[0]+w[i]}
        一定正确=>f[j-k*v[i]]一定正确=>f[j]一定正确。
        综上，证明成立。
        */
        for (int j = v[i]; j <= V; ++j)
            f[j] = max(f[j], f[j -v[i]] + w[i]);
            
    }
    cout << f[V];
}
/*
若是要求物品恰好装满背包时的最大价值，只需
初始化时将f[0]置0，f[1]-f[V]都置-INF就可以了。
确保所有状态都是由f[0]转移过来。
*/