算法初级面试题01——认识时间复杂度、对数器、 master公式计算时间复杂度、小和问题和逆序对问题

虽然以前学过，再次回顾还是有别样的收获~

认识时间复杂度

• 常数时间的操作：一个操作如果和数据量没有关系，每次都是固定时间内完成的操作，叫做常数操作。
• 时间复杂度为一个算法流程中，常数操作数量的指标。常用O（读作big O）来表示。具体来说，在常数操作数量的表达式中，只要高阶项，不要低阶项，也不要高阶项的系数，剩下的部分如果记为f(N)，那么时间复杂度为O(f(N))。
• 评价一个算法流程的好坏，先看时间复杂度的指标，然后再分析不同数据样本下的实际运行时间，也就是常数项时间。

例子一

一个简单的理解时间复杂度的例子

一个有序数组A，另一个无序数组B，请打印B中的所有不在A中的数，A数组长度为N，B数组长度为M。

 算法流程1：对于数组B中的每一个数，都在A中通过遍历的方式找一下；

 算法流程2：对于数组B中的每一个数，都在A中通过二分的方式找一下；

 算法流程3：先把数组B排序，然后用类似外排的方式打印所有在A中出现的数；

 三个流程，三种时间复杂度的表达...

 如何分析好坏？

例子二

 对数器的概念和使用

 0，有一个你想要测的方法a，

 1，实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b，

 2，实现一个随机样本产生器

 3，实现比对的方法

 4，把方法a和方法b比对很多次来验证方法a是否正确。

 5，如果有一个样本使得比对出错，打印样本分析是哪个方法出错

 6，当样本数量很多时比对测试依然正确，可以确定方法a已经正确。

import java.util.Arrays;

public class Code_01_InsertionSort {

    public static void insertionSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {
                swap(arr, j, j + 1);
            }
        }
    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    }

    // for test
    public static void comparator(int[] arr) {
        Arrays.sort(arr);
    }

    // for test
    public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
        int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
        }
        return arr;
    }

    // for test
    public static int[] copyArray(int[] arr) {
        if (arr == null) {
            return null;
        }
        int[] res = new int[arr.length];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            res[i] = arr[i];
        }
        return res;
    }

    // for test
    public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
        if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
            return false;
        }
        if (arr1 == null && arr2 == null) {
            return true;
        }
        if (arr1.length != arr2.length) {
            return false;
        }
        for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
            if (arr1[i] != arr2[i]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    // for test
    public static void printArray(int[] arr) {
        if (arr == null) {
            return;
        }
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    // for test
    public static void main(String[] args) {
        int testTime = 500000;
        int maxSize = 100;
        int maxValue = 100;
        boolean succeed = true;
        for (int i = 0; i < testTime; i++) {
            int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
            int[] arr2 = copyArray(arr1);
            insertionSort(arr1);
            comparator(arr2);
            if (!isEqual(arr1, arr2)) {
                succeed = false;
                break;
            }
        }
        System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

        int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
        printArray(arr);
        insertionSort(arr);
        printArray(arr);
    }

}

例子三

 

 冒泡排序细节的讲解与复杂度分析

时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)

    public static void bubbleSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) {
            for (int i = 0; i < e; i++) {
                if (arr[i] > arr[i + 1]) {
                    swap(arr, i, i + 1);
                }
            }
        }
    }

例子四

选择排序的细节讲解与复杂度分析

 时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)

    public static void selectionSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            int minIndex = i;
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
                minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex;
            }
            swap(arr, i, minIndex);
        }
    }

例子五

插入排序（类似整理扑克牌）的细节讲解与复杂度分析

时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)

    public static void insertionSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {
                swap(arr, j, j + 1);
            }
        }
    }

例子六

剖析递归行为和递归行为时间复杂度的估算

 一个递归行为的例子

 master公式的使用

 T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)  [a是过程发生次数，N/b是子问题，O(N^d)剩下的时间复杂度]

 

1) log(b,a) > d -> 复杂度为O(N^log(b,a))

 2) log(b,a) = d -> 复杂度为O(N^d * logN)

 3) log(b,a) < d -> 复杂度为O(N^d)

  

补充阅读：www.gocalf.com/blog/algorithm-complexity-and-master-theorem.html

例子七

归并排序的细节讲解与复杂度分析

时间复杂度O(N*logN)，额外空间复杂度O(N)

    public static void mergeSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static void mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        mergeSort(arr, l, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, r);
        merge(arr, l, mid, r);
    }

    public static void merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m + 1;
        while (p1 <= m && p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= m) {
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[l + i] = help[i];
        }
    }

例子八

小和问题和逆序对问题

小和问题

在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。求一个数组的小和。

 

例子：

 [1,3,4,2,5]

 1左边比1小的数，没有；

 3左边比3小的数，1；

 4左边比4小的数，1、3；

 2左边比2小的数，1；

 5左边比5小的数，1、3、4、2；

 所以小和为1+1+3+1+1+3+4+2=16

 

逆序对问题

 在一个数组中，左边的数如果比右边的数大，则折两个数构成一个逆序对，请打印所有逆序对。

    public static int smallSum(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return 0;
        }
        return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static int mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return 0;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        return mergeSort(arr, l, mid) + mergeSort(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
    }

    public static int merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m + 1;
        int res = 0;
        while (p1 <= m && p2 <= r) {
            res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= m) {
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[l + i] = help[i];
        }
        return res;
    }