装载问题回溯法

问题描述：

　　有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量是wi，且不能超。

算法思想：

　　最优装载方案： 将第一艘轮船尽可能的装满；　　然后将剩余的装载第二艘船上

算法描述：

template <class Type>
class Loading
{
    friend Type MaxLoading(Type [],Type,int);
    private:
        void Backtrack(int i);
        int n;
        Type * w,c,cw,bestw;
};
template <class Type>
void Loading<Type>::Backtrack(int i)
{
    if(i>n)
    {
        if(cw>bestw)
            bestw = cw;
        return;
    }
    if(cw+w[i] <= c)
    {
        cw += w[i];
        Backtrack(i+1);
        cw -= w[i];
    }
    Backtrack(i+1);
}
template <class Type>
Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n)
{
    Loading<Type> X;
    X.w = w;
    X.c = c;
    X.n = n;
    X.bestw = 0;
    X.cw = 0;
    X.Backtrack(1);
    return X.bestw;
}

上界函数：

引入上界函数，用于剪去不含最优解的子树：

template <class Type>
class Loading
{
    friend Type MaxLoading(Type [],Type,int);
    private:
        void Backtrack(int i);
        int n;
        Type * w,
            c,
            cw,
            bestw,
            r;//剩余集装箱重量
};
template <class Type>
void Loading<Type>::Backtrack(int i)
{
    if(i>n)
    {
        if(cw>bestw)
            bestw = cw;
        return;
    }
    r-=w[i];//计算剩余的集装箱的重量
    if(cw+w[i] <= c)
    {
        cw += w[i];
        Backtrack(i+1);
        cw -= w[i];
    }
    Backtrack(i+1);
    r+=w[i];//如果得不到最优解，再取消当前的集装箱，表示未选，因此剩余容量要再加上当前集装箱重量
}
template <class Type>
Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n)
{
    Loading<Type> X;
    X.w = w;
    X.c = c;
    X.n = n;
    X.bestw = 0;
    X.cw = 0;
    X.r = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//计算总共的剩余集装箱重量
        X.r += w[i];
    X.Backtrack(1);
    return X.bestw;
}

构造最优解：

 　　为了构造最优解，必须在算法中保存最优解的记录。因此需要两个成员数组 x ,bestx，一个用于记录当前的选择，一个用于记录最优记录。

改进后的算法描述如下：

template <class Type>
class Loading
{
    friend Type MaxLoading(Type [],Type,int);
    private:
        void Backtrack(int i);
        int n,
            * x,
            * bestx;
        Type * w,
            c,
            cw,
            bestw,
            r;//剩余集装箱重量
};
template <class Type>
void Loading<Type>::Backtrack(int i)
{
    if(i>n)
    {
        if(cw>bestw)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
                bestx[j] = x[j];
            bestw = cw;
        }
        return;
    }
    r-=w[i];//计算剩余的集装箱的重量
    if(cw+w[i] <= c)
    {
        x[i] =1;
        cw += w[i];
        Backtrack(i+1);
        cw -= w[i];
    }
    if(cw+r > bestw)
    {
        x[i] = 0;
        Backtrack(i+1);
    }
    r+=w[i];//如果得不到最优解，再取消当前的集装箱，表示未选，因此剩余容量要再加上当前集装箱重量
}
template <class Type>
Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n)
{
    Loading<Type> X;
    X.w = w;
    X.c = c;
    X.n = n;
    X.bestx = bestx;
    X.bestw = 0;
    X.cw = 0;
    X.r = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//计算总共的剩余集装箱重量
        X.r += w[i];
    X.Backtrack(1);
    delete []X,x;
    return X.bestw;
}

迭代回溯方式：

利用数组x所含的信息，可将上面方法表示成非递归的形式。省去O(n)递归栈空间。

template <class Type>
Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n,int bestx[])
{
    //迭代回溯法，返回最优装载量及其相应解，初始化根节点
    int i =1;
    int *x = new int[n+1];
    Type bestw = 0,
        cw = 0,
        r = 0;
    for(int j=1;j<=n;j++)
        r+=w[j];
    while(true)
    {
        while(i<=n && cw+w[i]<=c)
        {
            r -= w[i];
            cw +=w[i];
            x[i] =1;
            i++;
        }
        if(i>n)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
                bestx[j] = x[j];
            bestw = cw;
        }
        else
        {
            r -= w[i];
            x[i] = 0;
            i++;
        }
        while(cw+w[i] <= bestw)
        {
            i--;
            while(i>0 && !x[i])
            {
                r+=w[i];
                i--;
            }
            if(i == 0)
            {
                delete[] x;
                return bestw;
            }
            x[i] =0;
            cw -= w[i];
            i++;
        }
    }
}