AVL树

平衡二叉树，是一个方便查找的树，树的左子树深度与右子树的深度的差总（BF）是在+1,0,-1之中。

随着树的建立，插入，树都会自动的进行调整，使得其满足上面的条件。

1、+1表示左子树的深度比右子树的深度多1.

2、0 表示左子树的深度与右子树的深度相同。

3、-1表示左子树的深度比右子树神的小1.

因此，如果一个数据插入到情况1中，也就是说，数据插入到左子树中，左子树的深度将会比右子树多2.此时，需要调整树的结构。如果插入尾端节点的左子树中，则这个尾端节点相应的BF值,就变成+1.相反，如果插入到它的右子树中，BF值就会变成-1.这个调整也会返回到上面一层的节点，再次进行调整。

这里相应的介绍一个左旋，与右旋的基本知识。

比如下图

在进行左旋时，将会发生下面的情况：

void L_Rotate(BiTree *p){
    //传入根节点进行右旋
    BiTree R;
    R = (*p)->rchild;
    (*p)->rchild = R->lchild;
    R->lchild = (*p);
    (*p) = R;
}

最后子树将会变成

相应的右旋，则运行下面的代码

void R_Rotate(BiTree *p){
    //传入一个根节点，进行右旋。定义它的左子树节点为L,根节点的左子树变成L的右子树，L的右子树变成根节点。最后把根节点指针指向L
    BiTree L;
    L = (*p)->lchild;
    (*p)->lchild =  L->rchild;
    L->rchild = (*p);
    (*p) = L;
}

了解左旋与右旋后，就该进行树的调整介绍了。

这里有一个技巧：

1 如果插入的元素插入到左子树，使得左子树的BF值发生改变。如果左子树节点的BF值，与根节点的BF值相同符号，则进行一次右旋，即可。但是如果是不同符号，则要进行双旋（即先进性左旋，使得子树高度加一，在进行右旋，平衡子树）

2 如果插入到右子树，也观察符号，相同，则进行一次右旋，如果不同，则进行双旋。

代码如下

void LeftBalance(BiTree *T){
    BiTree L,Lr;
    L = (*T)->lchild;
    switch(L->bf){
    case LH://符号与根相同，因此进行右旋一次，就行了
        (*T)->bf = L->bf = EH;
        R_Rotate(T);
        break;
    case RH://符号与根不同，要进行双旋；对子树进行一次旋转，再对T进行一次旋转
        Lr = L->rchild;
        switch(Lr->bf){
        case LH: //如果是左子数高，那么对根节点赋值为-1，因为没有右子树，根节点将会出现左子树为空的情况；左子树旋转后，会平衡为EH
            (*T)->bf = RH;
            L->bf = EH;
            break;
        case EH://如果为平衡，那么根节点和左子树节点都为平衡EH
            (*T)->bf = L->bf = EH;
            break;
        case RH://如果右子树高，那么对根节点赋值为0，对左子树赋值为+1，因为进行旋转后，左子树节点的右子树会空。根节点EH
            (*T)->bf = EH;
            L->bf = LH;
            break;
        }
        Lr->bf = EH;
        L_Rotate(&(*T)->lchild);
        R_Rotate(T);
    }
}

void RightBalance(BiTree *T){
    BiTree R,Rl;
    R = (*T)->rchild;
    switch(R->bf){
    case RH:
        (*T)->bf = R->bf = EH;
        L_Rotate(T);
        break;
    case LH:
        Rl = R->lchild;
        switch(Rl->bf){
        case LH: //如果是左子数高，那么对根节点赋值为-1，因为没有右子树，根节点将会出现左子树为空的情况；左子树旋转后，会平衡为EH
            (*T)->bf = EH;
            R->bf = RH;
            break;
        case EH://如果为平衡，那么根节点和左子树节点都为平衡EH
            (*T)->bf = R->bf = EH;
            break;
        case RH://如果右子树高，那么对根节点赋值为0，对左子树赋值为+1，因为进行旋转后，左子树节点的右子树会空。根节点EH
            (*T)->bf = LH;
            R->bf = EH;
            break;
        }
        Rl->bf = EH;
        R_Rotate(&(*T)->rchild);
        L_Rotate(T);
    }
}

插入时，要遍历到子树的最底层，进行分析，逐层的改变BF值，进行平衡。知道标记taller为0时，表示对深度不发生改变，就不需要向上遍历了。

int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller){
    if(!(*T)){
        (*T)=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        (*T)->data = e;
        (*T)->lchild = NULL;
        (*T)->rchild = NULL;
        (*T)->bf = EH;
        *taller = 1;
    }else{
        if(e == (*T)->data){ //存在相同节点
            *taller = 0;
            return 0;
        }
        if(e < (*T)->data){
            if(!insertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
                return 0;
            if(taller){
                switch((*T)->bf){
                case LH:
                    LeftBalance(T);
                    *taller = 0;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = LH;
                    *taller = 1;
                    break;
                case RH:
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = 0;
                    break;
                }
            }
        }else{
            if(!insertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
                return 0;
            if(taller){
                switch((*T)->bf){
                case LH:
                    (*T)->bf = 0;
                    *taller = 0;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf=RH;
                    *taller = 1;
                    break;
                case RH:
                    RightBalance(T);
                    *taller = 0;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}

全部代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define LH +1
#define EH 0
#define RH -1

typedef struct BiTNode{
    int data;
    int bf;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

void R_Rotate(BiTree *p);
void L_Rotate(BiTree *p);
void LeftBalance(BiTree *p);
void RightBalance(BiTree *T);
int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller);
void InOrderTree(BiTree b);

int main(){
    int i;
    int a[10]={4,7,9,1,2,3,0,5,6,8};
    BiTree T = NULL;
    int *taller = (int *)malloc(sizeof(int));
    for(i=0;i<10;i++){
        insertAVL(&T,a[i],taller);
        InOrderTree(T);
        printf("
");
    }
    getchar();
}
void InOrderTree(BiTree b){
    if( b== NULL)
        return;
    InOrderTree(b->lchild);
    printf("%d ",b->data);
    InOrderTree(b->rchild);
}
int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller){
    if(!(*T)){
        (*T)=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        (*T)->data = e;
        (*T)->lchild = NULL;
        (*T)->rchild = NULL;
        (*T)->bf = EH;
        *taller = 1;
    }else{
        if(e == (*T)->data){ //存在相同节点
            *taller = 0;
            return 0;
        }
        if(e < (*T)->data){
            if(!insertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
                return 0;
            if(taller){
                switch((*T)->bf){
                case LH:
                    LeftBalance(T);
                    *taller = 0;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = LH;
                    *taller = 1;
                    break;
                case RH:
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = 0;
                    break;
                }
            }
        }else{
            if(!insertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
                return 0;
            if(taller){
                switch((*T)->bf){
                case LH:
                    (*T)->bf = 0;
                    *taller = 0;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf=RH;
                    *taller = 1;
                    break;
                case RH:
                    RightBalance(T);
                    *taller = 0;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}

void R_Rotate(BiTree *p){
    //传入一个根节点，进行右旋。定义它的左子树节点为L,根节点的左子树变成L的右子树，L的右子树变成根节点。最后把根节点指针指向L
    BiTree L;
    L = (*p)->lchild;
    (*p)->lchild =  L->rchild;
    L->rchild = (*p);
    (*p) = L;
}
void L_Rotate(BiTree *p){
    //传入根节点进行右旋
    BiTree R;
    R = (*p)->rchild;
    (*p)->rchild = R->lchild;
    R->lchild = (*p);
    (*p) = R;
}
void LeftBalance(BiTree *T){
    BiTree L,Lr;
    L = (*T)->lchild;
    switch(L->bf){
    case LH://符号与根相同，因此进行右旋一次，就行了
        (*T)->bf = L->bf = EH;
        R_Rotate(T);
        break;
    case RH://符号与根不同，要进行双旋；对子树进行一次旋转，再对T进行一次旋转
        Lr = L->rchild;
        switch(Lr->bf){
        case LH: //如果是左子数高，那么对根节点赋值为-1，因为没有右子树，根节点将会出现左子树为空的情况；左子树旋转后，会平衡为EH
            (*T)->bf = RH;
            L->bf = EH;
            break;
        case EH://如果为平衡，那么根节点和左子树节点都为平衡EH
            (*T)->bf = L->bf = EH;
            break;
        case RH://如果右子树高，那么对根节点赋值为0，对左子树赋值为+1，因为进行旋转后，左子树节点的右子树会空。根节点EH
            (*T)->bf = EH;
            L->bf = LH;
            break;
        }
        Lr->bf = EH;
        L_Rotate(&(*T)->lchild);
        R_Rotate(T);
    }
}

void RightBalance(BiTree *T){
    BiTree R,Rl;
    R = (*T)->rchild;
    switch(R->bf){
    case RH:
        (*T)->bf = R->bf = EH;
        L_Rotate(T);
        break;
    case LH:
        Rl = R->lchild;
        switch(Rl->bf){
        case LH: //如果是左子数高，那么对根节点赋值为-1，因为没有右子树，根节点将会出现左子树为空的情况；左子树旋转后，会平衡为EH
            (*T)->bf = EH;
            R->bf = RH;
            break;
        case EH://如果为平衡，那么根节点和左子树节点都为平衡EH
            (*T)->bf = R->bf = EH;
            break;
        case RH://如果右子树高，那么对根节点赋值为0，对左子树赋值为+1，因为进行旋转后，左子树节点的右子树会空。根节点EH
            (*T)->bf = LH;
            R->bf = EH;
            break;
        }
        Rl->bf = EH;
        R_Rotate(&(*T)->rchild);
        L_Rotate(T);
    }
}

运行实例：