知识点: 概率与期望
知识归类: 数学
胡言乱语·前言
作为一名前后2000万的高清菜鸡（乱入了抱歉）
之前考试遇到概率立即跳，感觉概率的题目都不可做。
今天来死磕概率与期望啦。
（可能概率与期望只是个开头。以后会陆续复习一些数学知识。）
另外就是，我写这东西自己复习用的哇，严谨性什么的……
0/1：定义
定义函数$P(A)$表示A事件发生的可能性大小，称为概率测度。
则A是事件集合$F$的一个子集，并且所有事件$A$都可以看作是样本空间$Omega$的一个子集，那么合法的三元组$(Omega,F,P)$被称为概率空间。
好抽象啊不看不看。
$Omega$：样本空间。$F$：事件全集。$P$：概率函数。
$F$与$Omega$的区别：
$F={A,B,C}$，则$Omega={{A,B,C},{A,B},{B,C},{A,C},{A},{B},{C},varnothing }$
0/2：条件概率公式
$P(A | B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
（$B$事件发生并且$A$事件的概率等于$B$事件发生情况下$A$、$B$同时发生的概率）
0/3：全概率公式
$P(A) = sumlimits_{i} P(A | B_i) * P(B_i)$
基本思想：将事件$A$分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件$A$的概率。而将$A$分割时，并非对$A$直接进行分割，而是找到样本空间$Omega$的一个划分，从而将$A$事件分成几个部分。
举个例子：P(我和remarkable有一个人很有钱)=P(这个人是remarkable)*P(remarkable很有钱|这个人是remarkable)+P(这个人是我)*P(我很有钱|这个人是我)
（以上柿子等价于：$frac{1}{4}=frac{1}{2}*frac{1}{2}+0*0 $）
0/4：贝叶斯公式
$P(B_i | A)=frac{P(B_i)P(A | B_i)}{sumlimits_{j=1}^nP(B_j)P(A | B_j)}$
基本思想：与全概率公式相反，贝叶斯公式是建立在大事件A已经发生了的基础上，分割中小事件$B_i$的概率。
柿子意义：计算在$A$事件发生的条件下发生$B_i$事件的概率。
0/5：期望
期望是“随机变量的期望”。
（啥是随机变量 /懵逼脸.jpg）
随机变量是定义在概率空间上的函数。随机试验的结果不同，随机变量的取值不同。
不同的基本结果可能导致随机变量取到相同的数值。
对于随机变量X，它的期望$E(X)=sum$ 基本结果i发生的概率*发生基本结果i时X的数值，（i是一个基本结果）
期望具有可加性，也叫期望的线性性：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
（基础知识简单然而就是不会做题，赶紧找题刷去了……）
0/F：一些idea和题目题解乱堆
偶然看到一些题目，有的并不会，查了题解大概明白了。有的……好像并没有自己秒掉的。
你有一副扑克牌，$54$张，平均分成三堆，每堆$18$张，求大小王在同一堆的概率。
题解：设随机事件$A$为大小王在同一堆，$A_i$为大小王同在第$i$堆，则有：
$P(A)=P(A_1+A_2+A_3)$
根据概率的线性性：上式$=sumlimits_{i=1}^3 P(A_i)$
设$B_i$为大王在第$i$堆的概率，$S_i$为小王在第i堆的概率。
根据条件概率公式：上式$=sumlimits_{i=1}^3 P(B_i|S_i)*P(S_i)$
$=3*(17/53)*(1/3)=17/53$.
一共有n个牛肉堡，n个鸡肉堡，2n个人，求最后两人拿到同一种汉堡的概率
题解：事件“最后两人拿到同一种汉堡”不好想，我们可以想它的对立事件“最后两人拿到不同的汉堡”。
所以我们需要让前2n-2个人各自拿走n-1种汉堡。由于最后两种汉堡都剩下了一个，所以前面的每个人都会作出选择。
事件的全集就变成了$2^{2n-2}$，而我想要的事件是其中n-1个人拿了一种汉堡，$C_{2n-2}^{n-1}$即可。
答案为：$frac{C_{2n-2}^{n-1}}{2^{2n-2}}$
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