角点 (corners) 的定义有两个版本：两条边缘的交点，或者，邻域内具有两个主方向的特征点
从人眼来看，角点是图像亮度发生剧烈变化的点 或 边缘曲线上曲率为极大值的点。例如，下图 E 和 F 便是典型的角点
1 检测思路
在图像中定义一个局部小窗口，然后沿各个方向移动这个窗口，则会出现 a) b) c) 三种情况，分别对应平坦区、边缘和角点
a) 窗口内的图像强度，在窗口向各个方向移动时，都没有发生变化，则窗口内都是 “平坦区”，不存在角点
b) 窗口内的图像强度，在窗口向某一个 (些) 方向移动时，发生较大变化；而在另一些方向不发生变化，那么，窗口内可能存在 “边缘”
c) 窗口内的图像强度，在窗口向各个方向移动时，都发生了较大的变化，则认为窗口内存在 “角点”
a) flat region b) edge c) corner
2 Harris 角点
2.1 泰勒展开
图像在点 $(x,y) $ 处的灰度值为 $I(x, y)$，当在 $x$ 方向上平移 $Delta u$，且 $y$ 方向上平移 $Delta v$ 时，图像灰度值的变化为
$ qquad E(Delta u,Delta v) = sumlimits_{x,y} \, underbrace{w(x,y)}_ ext{window function} ; [underbrace{I(x+Delta u, y+Delta v)}_ ext{shifted intensity} - underbrace{I(x, y)}_ ext{intensity}]^2 $
$I(x,y)$ 的偏导数分别记为 $I_x$ 和 $I_y$，则上式用一阶泰勒级数近似展开
$ qquad sumlimits_{x,y} ; [I(x+Delta u, y+Delta v) - I(x, y)]^2 approx sumlimits_{x,y} ; [I(x, y) +Delta uI_x + Delta vI_y - I(x, y)]^2 = sumlimits_{x,y} ; [Delta u^2I_x^2 + 2Delta u Delta vI_x I_y + Delta v^2I_y^2 ] $
写成矩阵形式
$ qquad E(Delta u,Delta v) approx egin{bmatrix} Delta u & Delta v end{bmatrix} left ( displaystyle sum_{x,y} w(x,y) egin{bmatrix} I_x^{2} & I_{x}I_{y} \ I_xI_{y} & I_{y}^{2} end{bmatrix} ight ) egin{bmatrix} Delta u \ Delta v end{bmatrix}$
则有
$ qquad E(Delta u,Delta v) approx egin{bmatrix} Delta u & Delta v end{bmatrix} M egin{bmatrix} Delta u \ Delta v end{bmatrix}$， 假定 $ M = displaystyle sum_{x,y} w(x,y) egin{bmatrix} I_x^{2} & I_{x}I_{y} \ I_xI_{y} & I_{y}^{2} end{bmatrix}$
2.2 判别方法
定义角点响应值 $R = det(M) - k(trace(M))^{2} = lambda_{1} lambda_{2} - k (lambda_{1}+lambda_{2})^2 $，根据响应值的大小，判断小窗口内是否包含角点：
1) “平坦区”：|R| 小的区域，即 $lambda_1$ 和 $lambda_2$ 都小；
2) “边缘”： R <0 的区域，即 $lambda_1 >> lambda_2$ 或反之；
3) “角点”： R 大的区域，即 $lambda_1$ 和 $lambda_2$ 都大且近似相等
为了便于直观理解，绘制成 $lambda_1-lambda_2$ 平面如下图：
2.3 cornerHarris()
OpenCV 中 Harris 角点检测的函数为:
void cornerHarris ( InputArray src, // 输入图像 (单通道，8位或浮点型) OutputArray dst, // 输出图像 (类型 CV_32FC1，大小同 src) int blockSize, // 邻域大小 int ksize, // Sobel 算子的孔径大小 double k, // 经验参数，取值范围 0.04 ~ 0.06 int borderType = BORDER_DEFAULT // 边界模式 )
2.4 代码示例
#include "opencv2/highgui.hpp" #include "opencv2/imgproc.hpp" using namespace cv; // Harris corner parameters int kThresh = 150; int kBlockSize = 2; int kApertureSize = 3; double k = 0.04; int main() { // read image Mat src, src_gray; src = imread("building.jpg"); if(src.empty()) return -1; cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY); Mat dst, dst_norm, dst_norm_scaled; // Harris corner detect cornerHarris(src_gray, dst, kBlockSize, kApertureSize, k); normalize(dst, dst_norm, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_32FC1); convertScaleAbs(dst_norm, dst_norm_scaled); // draw detected corners for(int j=0; j < dst_norm.rows; j++) { for(int i=0; i<dst_norm.cols;i++) { if((int)dst_norm.at<float>(j,i) > kThresh) { circle(src, Point(i, j), 2, Scalar(0,255,0)); } } } imshow("harris corner", src); waitKey(0); }
检测结果：
3 Shi-Tomasi 角点
Shi-Tomasi 角点是 Harris 角点的改进，在多数情况下，其检测效果要优于 Harris。二者的区别在于，Shi-Tomasi 选取 $lambda_1$ 和 $lambda_2$ 中的最小值，作为新的角点响应值 $R$
$qquad R = min(lambda_1, lambda_2) $
则相应的 $lambda_1-lambda_2$ 平面为：
3.1 goodFeaturesToTrack()
OpenCV 中 Shi-Tomasi 角点检测函数为：
void goodFeaturesToTrack ( InputArray image, // 输入图像 (单通道，8位或浮点型32位) OutputArray corners, // 检测到的角点 int maxCorners, // 最多允许返回的角点数量 double qualityLevel, // double minDistance, // 角点间的最小欧拉距离 InputArray mask = noArray(), // int blockSize = 3, // bool useHarrisDetector = false, // double k = 0.04 // )
3.2 代码示例
#include "opencv2/highgui.hpp" #include "opencv2/imgproc.hpp" using namespace cv; using namespace std; int kMaxCorners = 1000; double kQualityLevel = 0.1; double kMinDistance = 1; int main() { // read image Mat src, src_gray; src = imread("building.jpg"); if (src.empty()) return -1; cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY); // Shi-Tomasi corner detect vector<Point2f> corners; goodFeaturesToTrack(src_gray, corners, kMaxCorners, kQualityLevel, kMinDistance); // draw and show detected corners for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++) { circle(src, corners[i], 2.5, Scalar(0, 255, 0)); } imshow("Shi-Tomasi corner", src); waitKey(0); }
检测结果：
4 角点检测的实现
分析 cornerHarris() 源码，复现计算步骤：Sobel 算子求解 dx 和 dy -> 矩阵 M -> boxFilter -> 每个像素的角点响应值 R，对应 C++ 代码实现如下：
#include <iostream> #include "opencv2/highgui.hpp" #include "opencv2/imgproc.hpp" using namespace cv; using namespace std; int kApertureSize = 3; int kBlockSize = 2; double k = 0.04; int kThresh = 150; int main() { // read image Mat src, src_gray; src = imread("chessboard.png"); if (src.empty()) return -1; cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY); // determine scale double scale = (double)(1 << (kApertureSize - 1)) * kBlockSize; scale *= 255.0; scale = 1.0 / scale; // 1) dx, dy Mat Dx, Dy; Sobel(src_gray, Dx, CV_32F, 1, 0, kApertureSize, scale); Sobel(src_gray, Dy, CV_32F, 0, 1, kApertureSize, scale); // 2) cov matrix Size size = src_gray.size(); Mat cov(size, CV_32FC3); for (int i = 0; i < size.height; i++) { float* cov_data = cov.ptr<float>(i); const float* dxdata = Dx.ptr<float>(i); const float* dydata = Dy.ptr<float>(i); for (int j=0; j < size.width; j++) { float dx = dxdata[j]; float dy = dydata[j]; cov_data[j * 3] = dx * dx; cov_data[j * 3 + 1] = dx * dy; cov_data[j * 3 + 2] = dy * dy; } } // 3) box filter boxFilter(cov, cov, cov.depth(), Size(kBlockSize, kBlockSize), Point(-1,-1), false); // 4) R Mat dst(size,CV_32FC1); Size size_cov = cov.size(); for (int i = 0; i < size_cov.height; i++) { const float* ptr_cov = cov.ptr<float>(i); float* ptr_dst = dst.ptr<float>(i); for (int j=0; j < size_cov.width; j++) { float a = ptr_cov[j * 3]; float b = ptr_cov[j * 3 + 1]; float c = ptr_cov[j * 3 + 2]; ptr_dst[j] = (float)(a * c - b * b - k * (a + c) * (a + c)); } } #if HARRIS_OPENCV // compare with cornerHarris()
cornerHarris(src_gray, dst, kBlockSize, kApertureSize, k); #endif
// 5) normalization Mat dst_norm, dst_norm_scaled; normalize(dst, dst_norm, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_32FC1); convertScaleAbs(dst_norm, dst_norm_scaled); // 6) drawing corners for (int j = 0; j < dst_norm.rows; j++) { for (int i = 0; i < dst_norm.cols; i++) { if ((int)dst_norm.at<float>(j, i) > 150) { circle(src, Point(i, j), 2, Scalar(0, 255, 0)); } } } imshow("Harris corner", src); waitKey(0); }
检测结果：将求得的角点响应值$R$，输出 txt 文件，与 cornerHarris() 输出的 $R$ 进行比较，结果几乎完全相同 (只有几处小数点后7位的值不同)
5 亚像素角点检测
5.1 cornerSubpix()
亚像素角点提取的函数 cornerSubPix()，常用于相机标定中，定义如下：
void cornerSubPix( InputArray image, // 输入图象(单通道，8位或浮点型) InputOutputArray corners, // 亚像素精度的角点坐标 Size winSize, // 搜索窗口尺寸的 1/2 Size zeroZone, // TermCriteria criteria // 迭代终止准则 )
5.2 代码示例
#include <iostream> #include "opencv2/highgui.hpp" #include "opencv2/imgproc.hpp" using namespace cv; using namespace std; int kMaxCorners = 40; double kQualityLevel = 0.01; double kMinDistance = 50; int main() { // read image Mat src, src_gray; src = imread("chessboard.png"); if (src.empty()) return -1; cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY); // Shi-Tomasi corner detect vector<Point2f> corners; goodFeaturesToTrack(src_gray, corners, kMaxCorners, kQualityLevel, kMinDistance); // draw and show detected corners for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++) { circle(src, corners[i], 3, Scalar(0, 255, 0)); } imshow("Shi-Tomasi corner", src); imwrite("subpix.png", src); TermCriteria criteria = TermCriteria(TermCriteria::EPS + TermCriteria::COUNT, 40, 0.001); // find corner positions in subpixel cornerSubPix(src_gray, corners, Size(5, 5), Size(-1, -1), criteria); for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++) { cout << "Corner[" << i << "]: (" << corners[i].x << "," << corners[i].y << ")" << endl; } waitKey(0); }
输入棋盘格5行8列，对应7x4个角点，图像的分辨率为 600*387，则所有角点的理论坐标如下表：
角点的图象坐标值输出如下：
参考资料：
《图像局部不变性特征与描述》 第 3 章
http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE486/
OpenCV Tutorials / feature2d module / Harris corner detector
OpenCV-Python Tutorials / Feature Detection and Description / Shi-Tomasi Corner Detector & Good Features to Track
OpenCV Tutorials / feature2d module / Detecting corners location in subpixels