欧几里得算法

一、最大公约数

　　约数：如果整数a能被整数b整除，那么a叫做b的倍数，b叫做a的约数。

　　最大公约数（Greatest Common Divisor,GCD）：给定两个整数a,b，两个数的所有公共约数中的最大值即为最大公约数。例如，12与16的最大公约数是4.

1、如果计算两个数的最大公约数

　　欧几里得：辗转相除法（欧几里得算法）

　　《九章算术》：更相减损术

二、欧几里得算法

　　gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，意思是说a,b的最大公约数等于a/b的余数(a%b)和b的最大公约数。

　　例如：gcd(60, 21) = gcd(21, 18) = gcd(18, 3) = gcd(3, 0) = 3  ；b=0是终止条件，此时的a就是最大公约数

　　证明：

1、欧几里得算法代码实现

def gcd(a, b):
    """最大公约数：伪递归（编译器会进行优化）的效率与循环是一样的"""
    if b == 0:   # 当b=0是，a就是要得到的最大公约数
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)   # 取到余数


print(gcd(16, 12))   # 4


def gcd2(a, b):
    """非递归方法"""
    while b > 0:
        r = a % b
        a = b
        b = r
    return a  # 此时b=0，达到循环终止条件

print(gcd2(12, 16))  # 4

　　a，b输入的数字大小顺序不同是否会影响计算结果?

print(gcd2(12, 16))  # 4
"""
12  16
r=12  a=16  b=12
r=4   a=12  b=4
r=0   a=4    b=0
由此可见a,b的顺序不影响结果
"""

2、欧几里得算法应用——实现分数计算

　　利用欧几里得算法实现一个分数类，支持分数的四则运算。

class Fraction:
    def __init__(self, a, b):
        """
        分数类——构造函数
        :param a:分子
        :param b:分母
        """
        self.a = a
        self.b = b
        x = self.gcd(a, b)   # a,b的最大公约数
        self.a /= x   # 约分
        self.b /= x

    def gcd(self, a, b):
        """最大公约数——非递归方法"""
        while b > 0:
            r = a % b
            a = b
            b = r
        return a  # 此时b=0，达到循环终止条件

    def LCM(self, a, b):
        """最小公倍数"""
        x = self.gcd(a, b)
        return a * b / x

    def __add__(self, other):
        """
        分数加法
        对象a和b相加时，python自动根据对象a的__add__魔法方法进行加法操作
        :param other:
        :return:
        """
        # 1/12 + 1/20
        a = self.a
        b = self.b
        c = other.a
        d = other.b
        denominator = self.LCM(b, d)   # b,d的最小公倍数，最后的分母
        numerator = a * (denominator / b) + c * (denominator / d)   # 最后的分子
        return Fraction(numerator, denominator)

    def __sub__(self, other):
        """
        分数减法
        :param other:
        :return:
        """
        a = self.a
        b = self.b
        c = other.a
        d = other.b
        denominator = self.LCM(b, d)   # 分母的最小公倍数
        numerator = a * (denominator / b) - c * (denominator / d)
        return Fraction(numerator, denominator)

    def __mul__(self, other):
        """
        分数乘法  1/5 * 3/10
        :param other:
        :return:
        """
        a = self.a
        b = self.b
        c = other.a
        d = other.b
        denominator = b * d
        numerator = a * c
        return Fraction(numerator, denominator)

    def __truediv__(self, other):
        """
        分数除法  (1/3)/(1/2)=2/3
        :param other:
        :return:
        """
        a = self.a
        b = self.b
        c = other.a
        d = other.b
        denominator = self.LCM(b, c)  # 分母和除数分子最小公倍数
        numerator = a * (denominator / b) + d * (denominator / d)   # 最后的分子
        return Fraction(numerator, denominator)

    def __str__(self):
        return "%d/%d" % (self.a, self.b)


f = Fraction(30, 15)
print(f)   # 2/1

a = Fraction(1, 3)
b = Fraction(1, 4)
print(a + b)   # 7/12
print(a-b)    # 1/12
print(a * b)  # 1/12
print(a / b)  # 4/3