关于复数的辐角、主辐角都没什么可说的.只要注意一点就是复数$z$的主辐角的取值范围
[0leqarg z<2pi]
显然$[0,+infty)$上的点都是$arg$的间断点.并且$arg$是$mathbb{C}setminus{0} o[0,2pi)$的单值函数.但是辐角${ m Arg}$确是一个多值函数.
设$z=x+iy$,由此便可用平面上的坐标来与之一一对应,这样便得到了复平面$mathbb C$.现在的问题是无穷远点$infty$如何处理？
几何模型是将一个单位球与$mathbb C$平面相切的放于$mathbb C$上,并且设北极点为$A$,那么球面上任意一点$B$,我们连接$AB$并延长交$mathbb C$平面于$C$,这样我们得到了复球面与复平面之间的一一对应,而无穷远点则对应于球面上的$A$点.有的时候也将这个球面称为Riemann面.这样的话假想的点$infty$在球面上就不再是假想的了.我们将$mathbb C+{infty}$叫做扩充复平面,记做$mathbb{C}_{infty},mathbb{C}^*$.
这部分没啥可说的.突然想起一个比较经典的题目,就是采用复数的辐角来做的.问题是求如下无穷级数的和
[sum_{n=1}^{infty}arctanfrac{1}{n^2}]
这个问题无法用以前的
$$arctanfrac{x-y}{1+xy}=arctan x-arctan y$$
裂项来做.这里有一个采用复数辐角的方法,注意到
[arctanfrac{1}{n^2}=argleft(1+frac{i}{n^2} ight)]
从而
[sum_{n=1}^{infty}arctanfrac{1}{n^2}=argprod_{n=1}^{infty}left(1+frac{i}{n^2} ight)]
$$=argprod_{n=1}^{infty}left(1+frac{left(frac{pi(1+i)}{sqrt2} ight)^2}{n^2pi^2} ight)$$
$$=argfrac{{ m sinh}left(frac{pi(1+i)}{sqrt2} ight)}{frac{pi(1+i)}{sqrt2}}$$
egin{align*}=arctanleft(frac{ anfrac{pi}{sqrt2}-{ m tanh}frac{pi}{sqrt2}}{ anfrac{pi}{sqrt2}+{ m tanh}frac{pi}{sqrt2}} ight)end{align*}
(不知道为啥编译显示不出来？毕竟是博客，貌似不能用数学环境,编辑公式还是比较不方便的)
另外上面的解答用到了双曲正弦函数${ m sinh}$的无穷乘积展开式
$${ m sinh}x=xprod_{n=1}^{infty}left(1+frac{x^2}{n^2pi^2} ight)$$