习题：
2.设$R$是无零因子环,只有有限个元素但至少有两个元素.证明$R$是体.
证明 只需说明${R^*;cdot}$构成群即可.由于$R$是环,因此${R^*;cdot}$构成有限半群;此外$R$无零因子,所以${R^*;cdot}$满足左右消去律,从而${R^*;cdot}$是群.即${R^*;+,cdot}$是体.
3.设$R$是环,若存在$a_{1},a_{2},cdots,a_{n}in R$,且每个$a_{i} eq0$,使得
$$a_{1}a_{2}cdots a_{n}=0$$
证明:$R$有零因子.
证明 采用数学归纳法.当$n=2$时结论显然成立.假设$n=k$时成立,考虑$k+1$的情形,若
$$a_{1}a_{2}cdots a_{k}a_{k+1}=0,a_{i} eq0$$
如果$a_{1}a_{2}=0$,那么$R$有零因子$a_{1},a_{2}$,结论已经成立.
如果$a_{1}a_{2} eq0$,记$b=a_{1}a_{2}$,那么
$$ba_{3}cdots a_{k+1}=0$$
由归纳假设知$R$有零因子.
综上根据数学归纳法的原理可是$R$有零因子.
5.设$R$为环,$ain R$,证明:
$$<a>=left{sum_{i=1}^{n}x_{i}ay_{i}+ra+as+na|r,s,x_{i},y_{i}in R,ninmathbb Z ight}$$
证明 记上式右端集合为$S$,容易验证$S$为$R$的理想.我们来说明$S$是$R$的所有包含$a$的理想中的最小者.任取$R$的包含$a$的理想$I$,按照题目中的式子任取$x_{i},y_{i},r,sin R,ninmathbb Z$,根据理想的定义便知
$$x_{i}ay_{i};as;ra;nain I$$
进而egin{align*}sum_{i=1}^{n}x_{i}ay_{i}+ra+as+na&in I\Rightarrow S&subset Iend{align*}
所以说$<a>=S$.
6.设$R$为无零因子环,,$I$为$R$的理想,问商环$R/I$是否一定是无零因子环?
解答 不一定.例如取$R=mathbb Z,I=6mathbb Z$,那么
$$R/I=mathbb Z_{6}$$
在$mathbb Z_{6}$中
$$overline{2}cdotoverline{3}=overline{0}$$
是有零因子的.
7.设$mathbb P$为数域.证明:环$M_{n}(mathbb P)$仅有平凡理想.
证明 即$R=M_{n}(mathbb P)$,并任取$R$的非零理想$I$,我们来说明必有$I=R$,为此只需说明$R$中的幺元
$$e=E$$
即可.其中$E$为数域$mathbb P$上的$n$阶单位阵.任取$I$中的非零元$A=left(a_{ij} ight)_{n imes n}$,不是一般性的我们可以设
$$a_{ij}=left{egin{array}{cc}1&i=j=1\0&otherend{array} ight.$$
即$A=E_{11}$.这是由于我们可在$R$中取一些列初等方阵,分别左右乘以$A$,将其化为相抵标准型
$$left(egin{array}{cc}E_{r}&\&0end{array} ight),rgeq1$$
再通过$R$中矩阵$E_{11}$的作用便使得$E_{11}in I$,再取$R$中的矩阵对$E_{11}$做适当的行列互换便可得到
$$E_{ii}in I,i=1,2,cdots,n$$
这样幺元$$e=E=E_{11}+E_{22}+cdots+E_{nn}in I$$
从而将$r$遍历$R$中所有元素,根据$$re=rin I$$
便知$R=I$.也就是说环$R$仅有平凡理想.
8.设$R$为环,若$R$作为加法群是循环群,证明$R$是交换环.
证明 由题意$R$中元素均形如$na,ninmathbb Z$.这样任取$ka,lain R$,显然$$(ka)cdot(la)=kla^2=(la)cdot(ka)$$
从而$R$是交换环.
补充题：
2.设$R$为幺环,称$xin R$为可逆元,若存在$yin R$使得$$xy=yx=1$$
设$a,bin R$,证明$1-ab$可逆当且仅当$1-ba$可逆.
证明 我们先从形式上推导,注意到
egin{align*}frac{1}{1-ab}&=1+ab+(ab)^2+cdots\&=1+aleft(1+ba+(ba)^2+cdots ight)b\&=1+frac{ab}{1-ba}end{align*}
也就是说$(1-ab)^{-1}=1+a(1-ba)^{-1}b$.剩下的仅仅是机械的验证形式推导的结果.从而易知题重结论成立.
3.设$R$为环,$ain R$.若存在$minmathbb N$使得$a^m=0$,则称$a$为幂零元.证明:若$R$为交换环,则$R$中幂零元的全体构成$R$的理想.
证明 记$I$为$R$的全体幂零元构成的集合.首先不难证明若$a$幂零,那么$-a$也是幂零的,且二者幂零指数相同.且若$a^m=0$,那么
$$a^m=a^{m+1}=cdots=0$$
因此任取$a,bin I$,且幂零指数分别为$k_{1},k_{2}$,那么对于充分大的$m>>k_{1}+k_{2}$,在交换环$R$中考虑egin{align*}(a-b)^{m}&=sum_{i=0}^{m}inom{n}{i}a^i(-b)^{m-i}=0end{align*}
上式为零是由于对任意的$i=0,1,cdots,m$,必然有$m-igeq k_{2}$或$igeq k_{1}$其一成立.因此$a-bin I$.另一方面对任意的$rin R$,有
$$(ra)^{k_{1}}=r^{k_{1}}a^{k_{1}}=0$$
从而$rain I$.综上可知$I$为$R$的理想.(由于是交换环,因此只需验证一边即可)
4.设$R$为环,$ain R$.若$a eq0$且$a^2=a$,则称$a$为幂等元.证明:
(1)若环$R$的所有非零元都是幂等元,那么$R$必为交换环;
(2)若$R$为无零因子环,且存在幂等元,则$R$只有唯一的幂等元,且$R$为幺环.
证明 (1)任取$R$的非零元$a$,那么$$a^2=a$$
显然$-a eq0$,从而$-a$也是幂等元,即$$(-a)^2=a^2=a=-a$$
这样对任意的$a eq bin R$,显然$a+b eq0$,从而其也是幂等元,因此
egin{align*}a+b&=(a+b)(a+b)=a^2+b^2+ab+ba\Rightarrow ab&=-ba=baend{align*}
所以说$R$是交换环.
(2)注意到$$e(ea-a)=ea-ea=0$$
而$R$无零因子,因此$ea=a$,同理$ae=a$.所以$e$是$R$的幺元.由幺元的唯一性便知$e$也是唯一的幂等元.
6.设$R$为无零因子环,$e$是$R$的关于乘法的左(右)幺元,证明:$e$必是$R$的幺元.
证明 任取$R$中的非零元$a,b$,则egin{align*}ab-ab&=0\Rightarrow (ea)b-a(eb)&=0\Rightarrow (ea-ae)b&=0end{align*}
而$R$中无零因子,因此$ae=ea=a$,这说明$e$是$R$的幺元.