loj#575. 「LibreOJ NOI Round #2」不等关系

题目描述

题解

只想到 $n^2$ 的dp，然后优化不了qwq

考虑容斥，考虑枚举一下有多少个位置的>是不合法的，其他的>的合法情况是未知的，那对答案的贡献就是 $(-1)^{cnt}$

然后我们可以dp，设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 段最多有 $j$ 个上升序列，于是我们列出dp式子 $f_{i,j}=sum_{k=0}^{i-1}f_{k,j-1}(_{s_i-s_k}^{n-s_k})$ ，由于容斥系数是 $±1$ ，所以dp其实没必要即第二维，即 $f_{i}=-sum_{k=0}^{i-1}f_{k}(_{s_i-s_k}^{n-s_k})$ ，然后式子拆开发现可以分治 $Ntt$ ，这里要注意<位置上的dp值设为 $0$ 即可

效率： $O(nlog^2n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=8e5+5,P=998244353;
int n,A[N],B[N],t,p,f[N],c,G[2]={3,(P+1)/3},s,re[N],jc[N],ny[N];
char ch[N];bool a[N];
int X(int x){if (x>=P) x-=P;return x;}
void pre(int l){
    for (t=1,p=0;t<l;t<<=1,p++);
    for (int i=0;i<t;i++)
        re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
}
int K(int x,int y){
    int A=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
        if (y&1) A=1ll*A*x%P;
    return A;
}
void Ntt(int *g,bool o){
    for (int i=0;i<t;i++)
        if (i<re[i]) swap(g[i],g[re[i]]);
    for (int wn,i=1;i<t;i<<=1){
        wn=K(G[o],(P-1)/(i<<1));
        for (int x,y,j=0;j<t;j+=(i<<1))
            for (int w=1,k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%P)
                x=g[j+k],y=1ll*w*g[i+j+k]%P,
                g[j+k]=X(x+y),g[i+j+k]=X(x-y+P);
    }
    if (o)
        for (int i=0,v=K(t,P-2);i<t;i++)
            g[i]=1ll*v*g[i]%P;
}
void solve(int l,int r){
    if (l==r){
        if (l==0) f[l]=1;
        else if (!a[l]) f[l]=0;
        else f[l]=1ll*f[l]*(P-ny[n-l])%P;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    solve(l,mid);
    for (int i=l;i<=mid;i++)
        A[i-l]=1ll*f[i]*jc[n-i]%P;
    for (int i=0;i<=r-l+1;i++) B[i]=ny[i];
    pre(r-l+mid-l+3);Ntt(A,0);Ntt(B,0);
    for (int i=0;i<t;i++)
        A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P;Ntt(A,1);
    for (int i=mid+1;i<=r;i++)
        f[i]=X(f[i]+A[i-l]);
    for (int i=0;i<t;i++) A[i]=B[i]=0;
    solve(mid+1,r);
}
int main(){
    scanf("%s",ch+1);n=strlen(ch+1)+1;
    for (int i=1;i<n;i++)
        a[i]=(ch[i]=='>'),c+=a[i];
    jc[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%P;
    ny[n]=K(jc[n],P-2);
    for (int i=n;i;i--)
        ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%P;
    solve(0,n);
    for (int i=0;i<=n;i++) s=X(s+f[i]);
    if (c&1) s=X(P-s);
    cout<<s<<endl;return 0;
}