排列问题的递归方法

对一组数字输出其全排列

设R= {r1,r2,...,rn}是要进行排列的n个元素， Ri = R - {ri}。集合X中元素的全排列记为perm（X ）。 （ri）perm（X）表示在全排列perm（X）的每一个排列前加上前缀ri得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：

　　当 n = 1 时， perm（R） = （r），其中r是集合R中唯一的元素。

　　当 n > 1 时， perm（R）由（r1）perm（R1），（r2）perm（R2），...，（r3）perm（R3）构成。

比如:把1，2，3三个数进行全排列，程序的主要思路是：

　　把第1个数换到最前面来（本来就在最前面），准备打印1xx，再对后两个数2和3做全排列。

　　把第2个数换到最前面来，准备打印2xx，再对后两个数1和3做全排列。

　　把第3个数换到最前面来，准备打印3xx，再对后两个数1和2做全排列。

 可见这是一个递归的过程，把对整个序列做全排列的问题归结为对它的子序列做全排列的问题。

  解题过程：

   (1) 当 N = 1的时候，则直接打印数列即可。

   (2) 当 N = 2的时候，设数组为 [a, b]

            打印a[0], a[1] （即a，b）

            交换a[0],a[1]里面的内容

            打印a[0],a[1]   （此时已变成了 [b, a] ）

    (3) 当 N = 3的时候，数组为 [a, b, c]

 把a放在 a[0] 的位置（原本也是如此，a[0] = a[0]），打印b,c的全排列（即a[1], a[2]的全排列）
                       a  b  c

                       a  c  b

 把b放在a[0]的位置（这时候需要交换原数组的a[0]和a[1]），然后打印a, c的全排列
                       b   a  c

                       b   c  a                       

 打印完后再换回原来的位置，即a还是恢复到a[0]，b还恢复到a[1]的位置

 把c放在a[0]的位置（这时候需要交换的是原数组的a[0]和a[2]），然后打印a, b的全排列
             c  b  a
             c  a  b
 打印完后再换回原来的位置，即a还是恢复到a[0]，b还恢复到a[1]的位置，至此，全排列完成
 当 N = 4，5，6,……的时候，以此类推。

C语言程序：

#include<stdio.h>
//全排列问题
void perm(int *a, int k, int m)
{
    int i;
    int temp;

    if(k == m)
    {
        for(i = 0; i <= m; ++i)
            printf("%d", a[i]);
        printf("
");
    }
    else
    {
        for(i = k; i <= m; ++i)
        {
            temp = a[i];                //依次将第k个元素与剩余元素交换
            a[i] = a[k];
            a[k] = temp;
            perm(a, k + 1, m);          //对数组a进行除第k个元素外的所有元素全排列
            temp = a[i];                //排列完成后换回原来的位置
            a[i] = a[k];
            a[k] = temp;
        }
    }
}

int main(void)
{
    int b[4] = {1,2,3,4};
    perm(b, 0, 3);

    return 0;
}

不过这样存在一点小小的缺陷：两个相同的数也进行了交换

代码改进

　去掉重复符号的全排列：在交换之前可以先判断两个符号是否相同，不相同才交换，这个时候需要一个判断符号是否相同的函数。　

#include<stdio.h>
//全排列问题
int isSwap(int *a, int nBegin, int nEnd)  //判断是否相等，如果相等则不交换
{
    int i;

    for(i = nBegin; i < nEnd; i++)
        if (a[i] == a[nEnd])
            return 0;
        return 1;
}

void perm(int *a, int k, int m)
{
    int i;
    int temp;

    if(k == m)
    {
        for(i = 0; i <= m; ++i)
            printf("%d", a[i]);
        printf("
");
    }
    else
    {
        for(i = k; i <= m; ++i)
        {
            if(isSwap(a, k, i) )
            {
                temp = a[i];                //依次将第k个元素与剩余元素交换
                a[i] = a[k];
                a[k] = temp;
                perm(a, k + 1, m);          //对数组a进行除第k个元素外的所有元素全排列
                temp = a[i];                //排列完成后换回原来的位置
                a[i] = a[k];
                a[k] = temp;
            }
        }
    }
}

int main(void)
{
    int b[4] = {1,2,3,4};
    int c[4] = {2,2,3,4};
    perm(b, 0, 3);
    printf("
");
    perm(c, 0, 3);

    return 0;
}