数据结构（C语言版）---二叉树

1、二叉树：任意一个结点的子结点个数最多两个，且子结点的位置不可更改，二叉树的子树有左右之分。

1）分类：
（1）一般二叉树
（2）满二叉树：在不增加树的层数的前提下，无法再多添加一个结点的二叉树就是满二叉树。
（3）完全二叉树：如果只是删除了满二叉树最底层最右边的连续的若干个结点，这样形成的二叉树就是完全二叉树。

（4）二叉排序树：左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字，右子树上的所有结点的关键字均大于根结点的关键字。

（5）平衡二叉树：树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1。

2）性质：

（1）在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点（i>=1)。

（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)。

（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1。

（4）具有n个结点的完全二叉树的深度为log₂n+1。

（5）如果对一棵有n个结点的完全二叉树（深度为log₂n+1）的结点按层序编号（从第1层到第log₂n+1层，每层从左到右），则对任一结点i(1<=i<=n)，有

          如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲Parent(i)是结点i/2；

          如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子LeftChild(i)是结点2i；

          如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子LRightChild(i)是结点2i+1。

3）二叉树和度为2的有序树的区别：

（1）度为2 的树至少有3个结点，而二叉树为空。

（2）度为2的有序树的孩子结点的左右次序是相对于另一个孩子结点而言的。

4）存储
（1）顺序存储【完全二叉树】：用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。
                 优点：查找某个节点的父节点和子节点速度很快（也包括判断有没有子节点）。
                 缺点：耗用内存空间。
（2）链式存储：用一个链表来存储二叉树，设置不同的指针域，二叉链表至少包含3个指针域：数据域、左指针域、右指针域。

5）遍历
（1）先序遍历
                先访问根结点、再先序访问左子树、再先序访问右子树。
（2）中序遍历
                先中序遍历左子树、再访问根结点、再中序遍历右子树。
（3）后序遍历
                先后序遍历右子树、再后序遍历左子树、再访问根结点。

6）已知两种遍历序列求原始二叉树
             通过先序和中序、中序和后序都可以还原出原始的二叉树，但是通过先序和后序无法还原出原始的二叉树。

2、线索链表

lchild

ltag

data

rtag

rchild

ltag=0,lchild域指示结点的左孩子；ltag=1,lchild域指示结点的前驱。

rtag=0,rchild域指示结点的右孩子；rtag=1,rchild域指示结点的后继。

1）线索：指向结点前驱和后继的指针。

2）线索二叉树：加上线索的二叉树。

3）线索化：对二叉树以某种次序遍历使其变成线索二叉树的过程。

3、二叉排序树（BST）（二叉查找树）

1）性质：左子树为空，则左子树上所有结点关键字值均小于根结点的关键字值。

           右子树为空，则右子树上所有结点关键字值均大于根结点的关键字值。

           左右子树本身也是一棵二叉排序树。

2）左子树结点值<根结点值<右子树结点值，进行中序遍历时，可以得到递增的有序序列。

3）二叉排序树的删除

（1）删除结点为叶结点，则直接删除。

（2）若结点只有一棵左子树或右子树，则让该结点的子树成为该结点父结点的子树。

（3）若结点有左右两棵子树，则令该结点的直接后继（直接前驱）替代该结点，删除直接后继（直接前驱）。

4）只有左（右）孩子的单支树的二叉排序树，平均查找长度为O(n)。

5）左、右子树的高度差的绝对值不超过1的二叉排序树，即平衡二叉树，平均查找长度为O(log₂n)。

4、平衡二叉树(AVL)

1）平衡因子：左子树与右子树的高度差。平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0、1.

2）性质：左右子树都是平衡二叉树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1

5、二叉树的基本操作

1）InitBiTree(&T)：构造空树

2）DestroyBiTree(&T)：销毁树

3）CreateBiTree(&T,definition)：按definition构造树

4）ClearBiTree(&T)：清空树

5）BiTreeEmpty(T)：判断树是否为空

6）BiTreeDepth(T)：返回树的深度

7）Root(T)：返回树的根

8）Value(T,cur_e)：返回结点cur_e的值

9）Assign(T,cur_e,value)：将结点cur_e赋值为value

10）Parent(T,cur_e)：若cur_e为非根节点，则返回双亲，否则函数值为空

11）LeftChild(T,cur_e)：若cur_e为非叶子结点，则返回左孩子，否则函数值为空

12）RightChild(T,cur_e)：若cur_e为非叶子结点，则返回右孩子，否则函数值为空

13）LeftSibling(T,cur_e)：若cur_e有左兄弟，则返回，否则函数值为空

14）RightSibling(T,cur_e)：若cur_e有右兄弟，则返回，否则函数值为空

15）InsertChild(&T,&p,i,e)：插入c为T中p所指结点的第i棵子树

16）DeleteChild(&T,&p,i)：删除T中p所指结点的第i棵子树

6、二叉树的顺序存储结构类型描述
#define Maxsize 100
typedef int SqBiTree[Maxsize];
7、在二叉树中查找结点i和结点j的最近公共祖先结点
int commancestor(SqBiTree T, int i, int j)
{
 if (T[i] != '#'&&T[j] != '#')
 {
  while (i!=j)
  {
   if (i > j)
   {
    i = i / 2;
   }
   else
   {
    j = j / 2;
   }
  }
  return T[i];
 }
}

8、二叉树的链式存储结构类型描述
typedef struct BiTNode {
 int data;
 struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode,*BiTree;
9、此部分程序中涉及到栈和队列的部分在前面几篇中提到，在这里就不详细给出咯。

1）先序遍历
void preorder(BiTree T)
{
 if (T != NULL)
 {
  visit(T);
  preorder(T->lchild);
  preorder(T->rchild);
 }
}
2）中序遍历
void inorder(BiTree T)
{
 if (T != NULL)
 {
  inorder(T->lchild);
  visit(T);
  inorder(T->rchild);
 }
}
3）中序遍历利用栈
void inorder1(BiTree T)
{
 Sqstack S;
 initstack(S);
 BiTree p = T;
 while (p||!stackempty(S))
 {
  if (p)
  {
   push(S, p->data);
   p = p->lchild;
  }
  else
  {
   pop(S, p->data);
   visit(p);
   p = p->rchild;
  }
 }
}
4）后序遍历
void postorder(BiTree T)
{
 if (T != NULL)
 {
  postorder(T->lchild);
  postorder(T->rchild);
  visit(T);
 }
}
5）后序遍历非递归
void postorder1(BiTree T)
{
 Sqstack S;
 BiTNode *r,*p;
 //BiTree p;
 initstack(S);
 p = T;
 r = NULL;
 while (p||!stackempty(S))
 {
  if (p)
  {
   push(S, p->data);
   p = p->lchild;
  }
  else
  {
   pop(S, p->data);
   if (p->rchild&&p->rchild != r)
   {
    p = p->rchild;
    push(S, p->data);
    p = p->lchild;
   }
   else
   {
    pop(S, p->data);
    visit(p);
    r = p;
    p = NULL;
   }
  }
 }
}
6）层序遍历
void levelorder(BiTree T)
{
 Sqstack S;
 SqQueue Q;
 initqueue(Q);
 initstack(S);
 if(T!=NULL)
 {
  enqueue(Q, T->data);
  while (!queueempty(Q))
  {
   dequeue(Q,T->data);
   push(S, T->data);
   if (T->lchild != NULL)
   {
    enqueue(Q, T->lchild->data);
   }
   if (T->rchild != NULL)
   {
    enqueue(Q, T->rchild->data);
   }
  }
  while (!stackempty(S))
  {
   pop(S, T->data);
   visit1(T->data);
  }
 }
}

10、二叉排序树非递归算法
BiTNode *bstsearch(BiTree T, int key, BiTNode *&p)
{
 p = NULL;
 while (T!=NULL&&key!=T->data)
 {
  p = T;
  if (key < T->data)
  {
   T = T->lchild;
  }
  else
  {
   T = T->rchild;
  }
 }
 return T;
}
11、二叉排序树的插入
int bstinsert(BiTree &T, int k)
{
 if (T == NULL)
 {
  T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
  T->data = k;
  T->lchild = T->rchild = NULL;
  return 1;
 }
 else if (k == T->data)
 {
  return 0;
 }
 else if (k < T->data)
 {
  return bstinsert(T->lchild, k);
 }
 else
 {
  return bstinsert(T->rchild, k);
 }
}
12、二叉排序树的构造
void bstcreate(BiTree &T, int str[], int n)
{
 T = NULL;
 int i = 0;
 while (i<n)
 {
  bstinsert(T, str[i]);
  i++;
 }
}

13、线索二叉树的存储结构
typedef struct ThreadNode {
 int data;
 struct ThreadNode *lchild, *rchild;
 int ltag, rtag;
}ThreadNode,*ThreadTree;
void visit(ThreadTree T)
{
 printf("遍历树");
 return;
}
1）求中序线索二叉树中中序序列下的第一个结点
ThreadNode *firstnode(ThreadNode *p)
{
 while (p->ltag==0)
 {
  p = p->lchild;
 }
 return p;
}
2）求中序线索二叉树中结点p在中序序列下的后继结点
ThreadNode *nextnode(ThreadNode *p)
{
 if (p->rtag == 0)
 {
  return firstnode(p->rchild);
 }
 else
 {
  return p->rchild;
 }
}
3）不含头结点的中序线索二叉树的中序遍历
void inorder(ThreadNode *p)
{
 for (ThreadNode *t = firstnode(p); t != NULL; t = nextnode(p))
 {
  visit(p);
 }
}
4）中序遍历对二叉树线索化的递归算法
void inthread(ThreadTree &t, ThreadTree &pre)
{
 if (t != NULL)
 {
  inthread(t->lchild, pre);
  if (t->lchild == NULL)
  {
   t->lchild = pre;
   t->ltag = 1;
  }
  if (pre != NULL && pre->rchild == NULL)
  {
   pre->rchild = t;
   pre->rtag = 1;
  }
  pre = t;
  inthread(t->rchild, pre);
 }
}
5）中序遍历建立中序线索二叉树
void createinthread(ThreadTree T)
{
 ThreadTree pre = NULL;
 if (T != NULL)
 {
  inthread(T, pre);
  pre->rchild = NULL;
  pre->rtag = 1;
 }
}